En matematiko , produta regulo aŭ leĝo de Leibniz estas formulo donanta derivaĵon de produto de funkcioj. Estu f(x) kaj g(x) esti du diferencialeblaj funkcioj de x . Tiam
(f·g)'=f·g'+g·f' aŭ en la alia skribmaniero:
d
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
d
x
=
f
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
+
g
(
x
)
⋅
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {d(f(x)\cdot g(x)) \over dx}=f(x)\cdot {dg(x) \over dx}+g(x)\cdot {df(x) \over dx}}
Speciff okazo de la produta regulo estas la konstanta multiplika regulo kiuj ststas ke se c estas konstanto (ne dependas de x ) kaj f(x) estas diferencialebla funkcio, tiam cf(x) estas ankaŭ diferencialebla, kaj ĝia derivaĵo estas
d
(
c
f
(
x
)
)
d
x
=
c
⋅
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {d(cf(x))}{dx}}=c\cdot {\frac {df(x)}{dx}}}
ĉar
d
c
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {dc}{dx}}=0}
La produta regulo donas la regulon por poparta integralado . La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaĵo de kvociento . Ĝi estas malforta versio en tio ke ĝi ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas ĝia derivaĵo se estas ĝi estas diferencialebla.
f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x)) Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu
y(x) = f(x)g(x) Laŭ difino de derivaĵo
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
y
(
x
+
h
)
−
y
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {y(x+h)-y(x)}{h}}}
kaj do
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}}
Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon f(x)g(x + h) al la numeratoro, tiam rezultas
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
h
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}}}
Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
)
(
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
)
+
g
(
x
+
h
)
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
)
h
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x)(g(x+h)-g(x))+g(x+h)(f(x+h)-f(x))}{h}}}
La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn
d
y
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
(
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
+
g
(
x
+
h
)
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
)
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}\left(f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+g(x+h){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)}
Pro tio ke g(x) estas diferencialebla ĝi estas kontinua je x kaj do
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x+h)}
g(x) . Krome, f(x) ne dependas de h kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo
d
y
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
+
(
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
)
(
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
)
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+(\lim _{h\to 0}g(x+h))\left(\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)}
La difinoj de derivaĵoj de f(x) kaj g(x)
d
f
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
d
g
(
x
)
d
x
=
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
{\displaystyle {\frac {dg(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}
Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo
d
y
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
d
g
(
x
)
d
x
+
g
(
x
)
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=f(x){\frac {dg(x)}{dx}}+g(x){\frac {df(x)}{dx}}}
Funkcio f(x) = g(x)h(x) povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h , ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x .
Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:
∂
f
∂
g
=
h
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial g}}=h}
kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj
∂
f
∂
h
=
g
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial h}}=g}
kie g estas konsiderata kiel konstanto.
Tiam
d
f
d
x
=
∂
f
∂
g
g
′
(
x
)
+
∂
f
∂
h
h
′
(
x
)
=
h
(
x
)
g
′
(
x
)
+
g
(
x
)
h
′
(
x
)
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial g}}g'(x)+{\frac {\partial f}{\partial h}}h'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x)}
Malkovro de ĉi tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz , kiu monris ĝian verecon jene.
Estu f(x) kaj g(x) du diferencialeblaj funkcioj de x . La diferencialo de fg estas
d(fg) = (f + df)(g + dg) - fg = f·dg + g·df + df·dg Pro tio ke la termo df·dg estas malatentebla (ĉar ĝi estas kvadrate malgranda respektive al df kaj dg , Leibniz konkludis ke
d(fg) = f·dg + g·df kaj ĉi tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo dx rezultas
d
(
f
g
)
d
x
=
f
d
g
d
x
+
g
d
f
d
x
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=f{\frac {dg}{dx}}+g{\frac {df}{dx}}}
La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro -valoraj funkcioj de skalara variablo.
Estu f (x) kaj g (x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x .
Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo
d
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
d
x
=
f
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
+
g
(
x
)
⋅
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {d(\mathbf {f} (x)\cdot \mathbf {g} (x)) \over dx}=\mathbf {f} (x)\cdot {d\mathbf {g} (x) \over dx}+\mathbf {g} (x)\cdot {d\mathbf {f} (x) \over dx}}
Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo
d
(
f
(
x
)
×
g
(
x
)
)
d
x
=
f
(
x
)
×
d
g
(
x
)
d
x
+
d
f
(
x
)
d
x
×
g
(
x
)
{\displaystyle {d(\mathbf {f} (x)\times \mathbf {g} (x)) \over dx}=\mathbf {f} (x)\times {d\mathbf {g} (x) \over dx}+{d\mathbf {f} (x) \over dx}\times \mathbf {g} (x)}
kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.
La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico -valoraj funkcioj de skalara variablo.
Estu A(x) kaj B(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x , de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto A(x)B(x) ekzistas.
Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo
d
(
A
(
x
)
B
(
x
)
)
d
x
=
A
(
x
)
d
B
(
x
)
d
x
+
d
A
(
x
)
d
x
B
(
x
)
{\displaystyle {d(A(x)B(x)) \over dx}=A(x){dB(x) \over dx}+{dA(x) \over dx}B(x)}
kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.
Por kolekto de funkcioj f1 (x), ..., fk (x) de variablo x :
d
∏
i
=
1
k
f
i
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
k
(
d
f
i
(
x
)
d
x
∏
j
≠
i
f
j
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)}{dx}}=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {df_{i}(x)}{dx}}\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)}
Ekzemple, por tri faktoroj:
d
(
u
v
w
)
d
x
=
d
u
d
x
v
w
+
u
d
v
d
x
w
+
u
v
d
w
d
x
{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj A1 (x), ..., Ak (x) de variablo x , de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim
d
∏
i
=
1
k
A
i
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
k
(
(
∏
j
=
1
i
−
1
A
j
(
x
)
)
d
A
i
(
x
)
d
x
(
∏
j
=
i
+
1
k
A
j
(
x
)
)
)
{\displaystyle {\frac {d\prod _{i=1}^{k}A_{i}(x)}{dx}}=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\prod _{j=1}^{i-1}A_{j}(x)\right){\frac {dA_{i}(x)}{dx}}\left(\prod _{j=i+1}^{k}A_{j}(x)\right)\right)}
Ekzemple, por tri faktoroj:
d
(
A
B
C
)
d
x
=
d
A
d
x
B
C
+
A
d
B
d
x
C
+
A
B
d
C
d
x
{\displaystyle {\frac {d(ABC)}{dx}}={\frac {dA}{dx}}BC+A{\frac {dB}{dx}}C+AB{\frac {dC}{dx}}}
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj f(x) kaj g(x) de variablo x :
d
n
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
d
x
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
⋅
d
n
−
k
f
(
x
)
d
x
n
−
k
⋅
d
k
g
(
x
)
d
x
k
{\displaystyle {d^{n}(f(x)g(x)) \over dx^{n}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot {d^{n-k}f(x) \over dx^{n-k}}\cdot {d^{k}g(x) \over dx^{k}}}
kie
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
binomaj koeficientoj . La formulo aspekte similas al la binomo de Newton .
Ekzemple por n=2 :
d
2
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
d
x
2
=
f
(
x
)
⋅
d
2
g
(
x
)
d
x
2
+
2
⋅
d
f
(
x
)
d
x
⋅
d
g
(
x
)
d
x
+
d
2
f
(
x
)
d
x
2
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle {d^{2}(f(x)g(x)) \over dx^{2}}=f(x)\cdot {d^{2}g(x) \over dx^{2}}+2\cdot {df(x) \over dx}\cdot {dg(x) \over dx}+{d^{2}f(x) \over dx^{2}}\cdot g(x)}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.
Por miksita parta derivaĵo de n -a ordo de produto de du funkcioj f(x1 , ..., xn ) kaj g(x1 , ..., xn ) je x1 , ..., xn estas formulo
∂
n
(
f
g
)
∂
x
1
⋯
∂
x
n
=
∑
S
∂
|
S
|
f
∏
i
∈
S
∂
x
i
⋅
∂
n
−
|
S
|
g
∏
i
∉
S
∂
x
i
{\displaystyle {\partial ^{n}(fg) \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}=\sum _{S}{\partial ^{|S|}f \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}g \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}
kie la indekso S trapasas ĉiujn 2n variantojn de subaro de aro {1, ..., n} .
Ekzemple por n=3 :
∂
3
(
f
g
)
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
=
{\displaystyle {\partial ^{3}(fg) \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}=}
=
f
⋅
∂
3
g
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
f
∂
x
1
⋅
∂
2
g
∂
x
2
∂
x
3
+
∂
f
∂
x
2
⋅
∂
2
g
∂
x
1
∂
x
3
+
∂
f
∂
x
3
⋅
∂
2
g
∂
x
1
∂
x
2
+
{\displaystyle =f\cdot {\partial ^{3}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial f \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}+}
+
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
2
⋅
∂
g
∂
x
3
+
∂
2
f
∂
x
1
∂
x
3
⋅
∂
g
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
x
2
∂
x
3
⋅
∂
g
∂
x
1
+
∂
3
f
∂
x
1
∂
x
2
∂
x
3
⋅
g
{\displaystyle +{\partial ^{2}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial g \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial g \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial g \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}f \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot g}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.
