Banaĥa spaco

En analitiko, banaĥa spaco estas vektora spaco kun kompleta normo.

Difino

Supozu ke ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ estas la kampo de la reeloj aŭ la kompleksaj nombroj. Do, banaĥa spaco super la korpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ konsistas el la ĉi-suba dateno:

• vektora spaco ${\displaystyle V}$ super ${\displaystyle \mathbb {K} }$
• normo ${\displaystyle \|-\|\colon V\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

kiu plenumas la jenan aksiomon:

• difininte la metrikon kiel ${\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|}$, do ${\displaystyle (V,d)}$ estas kompleta metrika spaco.

Alivorte, pri ajna vico de vektoroj ${\displaystyle v_{i}\in V}$, se la sumo de normoj konverĝas,

${\displaystyle \exists \sum _{i}\|v_{i}\|}$

do ankaŭ konverĝas la sumo de la vektoroj mem:

${\displaystyle \exists \sum _{i}v_{i}\in V}$.

Ekzemploj

Ĉiu hilberta spaco estas banaĥa spaco.

Ĉiu finidimensia vektora spaco kun normo estas banaĥa; kompleteco estas netriviala nur pri nefinidimensiaj spacoj.

Historio

La banaĥa spaco estas nomita laŭ la pola matematikisto Stefan Banach (Esperante Stefano Banaĥo).

Referencoj

• Fréchet, Maurice René (1961). “Ĉu la spaco de la kurboj estas Banach-a spaco ?”, Journal de Mathématiques pures et appliquées (eo) 40, p. 197. 

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Banaĥa spaco en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

• Eric W. Weisstein, Banach space en MathWorld.

PeEnEo: 683948 LCCN: sh85011441 NDL: 00560500 NKC: ph117384