Algebra elemento

En abstrakta algebro kaj teorio de kampoj, radikoj de polinomoj nomiĝas algebraj aŭ algebraj elementoj. Ili povas ekzisti en pli granda strukturo.

Pli formale, kampo L estas pluigaĵo de kampo K, tiam elemento a de L nomiĝas algebra super K aŭ algebra elemento super K, se ekzistas nenula polinomo g(x) kun koeficientoj en K tia ke g(a)=0. Elementoj de L, kiuj ne estas algebraj super K nomiĝas transcendaj super K.

Ĉi tiuj nocioj ĝeneraligas la algebrajn nombrojn kaj la transcendajn nombrojn (se la kampa pluigaĵo estas C/Q, C estas la kampo de kompleksaj nombroj kaj Q estas la kampo de racionalaj nombroj.

Ekzemploj

• La kvadrata radiko de 2 estas algebra super Q, ĉar ĝi estas la radiko de la polinomo g(x) = x² - 2 kies koeficientoj estas racionalaj.
• Pi estas transcenda super Q, sed algebra super la korpo de reelaj nombroj R.

Proprecoj

Jenaj kondiĉoj estas ekvivalento por ero A de L:

• A estas algebra super K
• la korpa vastigaĵo K(A)/K havas finia grado, t.e. la dimensio de K(A) kiel K-vektora spaco estas finia (ĉi-tie K(A) kaj signifas la plej malgrandan subkorpon de L enhavantan K kaj A.
• K[A] = K(A), kie K[A] estas la aro de ĉiuj eroj de L, kiu povas esti skribita en la formo g(A) kun polinoma g kies koeficientoj aperas en K.

Ĉi tiu karakterizado povas esti uzata por montri ke la sumo, diferenco, produto kaj kvociento de algebraj eroj super K estas denove algebra super K. La aro de ĉiuj eroj de L, kiuj estas algebraj super K, estas korpo kiu situas inter L kaj K.

Se A estas algebra super K, tiam estas multaj ne-nulaj polinomoj g(x) kun koeficientoj en K tiaj, kia g(A) = 0. Tamen estas nur unu kun plej malgranda grado kaj kun kondukante koeficiento 1. Ĉi tiu estas la minimuma polinoma de A kaj ĝi enkodas multajn gravajn proprecojn de A.

Korpoj, kiuj ne permesas iujn ajn algebrajn erojn super si mem (escepte siajn proprajn erojn) estas nomitaj algebre fermitaj. La korpo de kompleksaj nombroj estas ekzemplo.