0,999...

Matematike, la ripetanta cifero 0,999…, kiu estas ankaŭ skribita kiel $0,{\bar {9}}$ , $0,{\dot {9}}$ aŭ $0,(9)$ , estas reela nombro egala al 1. Alie dirita, la skribaĵoj "0,999…" kaj "1" reprezentas la saman reelan nombron. Tiu egaleco estas sciita de profesiaj matematikistoj kaj skribita en matematikaj lernolibroj. Pluraj pruvoj de tiu idento estis kreita laŭ diversaj niveloj kaj gradoj de rigoro, preferata evoluo de la reelaj nombroj, jamscia fono, historia kunteksto, kaj celita aŭskultantaro.

0,99999999...

En la lastaj dekjaroj, esploristoj pri matematika edukado studis, kiel studentoj akceptas tiun egalecon. Multo da ili kontestas la egalecon, almenaŭ unue. Post legado de lernolibroj, klarigado de instruisto, kaj legado de pruvoj, multo opinias malsame kaj akceptas, ke la du nombroj estas samaj. Tamen, ili ofte estas tiel necerta, ke ili asertas pli da malpravaj pravigoj. La rezonado de la studentoj ofte rilatas al malĝustaj intuicioj pri reelaj nombroj. Ekzemple, ili ofte pensas, ke ĉiu reela nombro havas malsimilan decimalan ekspansion, ke ekzistas nenulaj malfiniomalgrandaj reelaj nombroj, aŭ ke la ekspansio de 0,999… finiĝas eventuale.

La ne-malsimileca de tiaj ekspansioj ne videblas nur en la dekuma sistemo. La sama fenomeno okazas per aliaj entjeraj bazoj (alia ol 10), kaj matematikistoj trovis metodojn skribi 1 per ne-entjeraj bazoj. Tiu fenomenoj vidiĝas ankaŭ je aliaj nombroj: ĉiu nenula nombro, kies decimaloj finiĝas havas ĝemelon, kiu havas ne-finiĝantan naŭojn. Por esti simpla, la versio havanta finiĝantan decimalojn estas preskaŭ ĉiam preferata, kaj tial oni ofte pensas, ke ĝi estas la sola prezento. Fakte, kiam senfinaj ekspansioj estas permesataj, ĉiuj posiciaj numeralaj sistemoj enhavas senliman nombron da alternativaj prezentoj de ĉiu nombro. Ekzemple, 28,3287 estas 28,3286999…, kaj 28,3287000, kaj aliaj. Tiuj pluraj identoj estas helpiloj por la kompreno de la decimala ekspansio de frakcioj, kaj la strukturo de simplaj fraktaloj, la aro de Kantor.

Numerala sistemoj per kiu la egaleco ne okazas povas esti konstruata, sed tiuj sistemoj estas ĉiam ekster la sistemo de reelaj nombroj.

0,999… estas nombro skribita en la dekuma numerala sistemo, kaj iu el la plej simplaj pruvoj montranta ke 0,999… = 1, uzas oportunajn aritmetikajn ecojn de tiu sistemo. La plejparto de dekuma aritmetiko — adicio, subtraho, multipliko, divido, neegalaĵo — influas je la nivelo de la cifero kaj tiel estas plimalpli same ol entjeroj. Same ol entjeroj, du finiĝantaj decimaloj havanta malsamajn ciferojn estas malsamaj nombroj. Iu ajn nombro de la formo 0,99…9, kiam la naŭojn eventuale finiĝas, estas malpli ol 1.

Misinterpreti la uzo de "…" (tripunkto) de 0,999… estas foje kial ĝia egaleco kun 1 estas miskomprenata. La uzo ĉi tie estas malsama ol la lingva uzo kaj en 0,99…9, kiu signifas limhavantan nombron da naŭoj. Ĉi tie, la tripunkto signifas, ke senlimhavanta parto de la nombro ne estas videbla. Tiel, tiu uzo de "…" nur povas signifi, ke la nombro estas limeso. Do, laŭ kutima matematika uzado, "0,999…" estas la reela nombro, kiu estas la limeso de la vico (0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, …).

Aliaj skribmanieroj povas prezenti unu nombron diversmaniere. Ekzemple, frakcie, ¹⁄₃ = ²⁄₆. Tamen, senfinaj decimaloj ne povas prezenti unu nombron per pli ol du manieroj. Se estas du manieroj, unu el ili estas kun senfina vico de naŭoj, kaj la alia ne estas senfina.

Estas pluraj pruvoj kiuj montras, ke 0,999… = 1, kun diversaj niveloj da matematika rigoro. Sekvas unu el ili. Du reelaj nombroj estas tute samaj se kaj nur se ilia malsameco estas egala al 0. La plejparto de homoj konsentus, ke la malsameco inter 0 kaj 1, se ja estas malsameco, devus esti tre malgranda. Kiam oni pensas pri la supra vico, oni povas montri, ke la malsameco devus esti pli malgranda ol iu ajn pozitiva kvanto, kaj oni povas montri ke nur estas unu reela nombro kun tiu eco: 0. Ĉar la malsameco estas 0, sekvas ke la nombroj 1 kaj 0,999… estas tute samaj. Pro la sama rezono oni povas ekspliki, kial 0,333… = ¹⁄₃, 0,111… = ¹⁄₉, ktp.

Algebre

Frakcie

Senfina decimaloj estas bezonata por prezenti frakciojn. Per longa divido, simpla divido de entjeroj kiel ¹⁄₃ iĝas senfinan nombron, 0,333…, kie la ciferoj ripetiĝas senfine. Ĉi tio montras rapide, ke 0,999… = 1. Multiplikado de 3 kaj 3 faras 9 je ĉiu cifero, do 3 × 0,333… egalas al 0,999…. Kaj 3 × ¹⁄₃ egalas al 1, do 0,999… = 1.^[1]

Alia formo de tiu pruvo multiplikas, ¹/₉ = 0,111… kaj 9.

${\begin{aligned}0,333\dots &{}={\frac {1}{3}}\\3\times 0,333\dots &{}=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\0,999\dots &{}=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0,111\dots &{}={\frac {1}{9}}\\9\times 0,111\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0,999\dots &{}=1\end{aligned}}$

Eĉ pli facila versio de tiu sama pruvo estas:

1={\frac {9}{9}}=9\times {\frac {1}{9}}=9\times 0,111\ldots =0,999\dots

Ambaŭ ekvacioj estas ĝusta, do pro transitiva rilato, 0.999… devas egali 1. Simile, ³/₃ = 1, kaj ³/₃ = 0,999…. Do, 0,999… devas egali 1.

Cifere

Alia metodo de pruvo aplikas plej facile al aliaj ripetantaj decimalaj nombroj. Kiam nombro skribita decimale dekoblas, la ciferoj ne ŝanĝiĝas sed la decimala dividsigno (komo) iras dekstre. Do 0,999… × 10 faras 9,999…, kaj tiu lasta estas 9 pli ol la unua nombro.

Por vidi tion, komprenu ke subtrakti 9,999… de 9,999… povas okazi unucifere; je ĉiu cifero post la komo la rezulto estas 9 - 9, nul. Sed nuloj kiu sekvas nombrojn ne ŝanĝas ilin, do la malsameco estas precize 9. La fina ŝtupo uzas algebron. Lasu la decimala nombro, 0,999…, esti c. Poste, 10c − c = 9. Do 9c = 9. Do c = 1.^[1] Jen per ekvacioj:

{\begin{aligned}c&=0,999\ldots \\10c&=9,999\ldots \\10c-c&=9,999\ldots -0,999\ldots \\9c&=9\\c&=1\\0,999\ldots &=1\end{aligned}}

La ĝusteco de la cifera metodo en la supraj pruvoj estas bona. Ĝi sekviĝas laŭ la reguloj de la rilato inter decimalaj skriboj kaj la nombroj, kiujn ili signifas. Kompreneble, tiu rilato ankaŭ diras, ke 0,999… kaj 1,000... estas la sama nombro.

Reela analizo

La problemo de 0,999… ne gravas je la formala evoluado de matematiko, ĝi povas esti prokrastata ĝis la teorioj de reela analizo estos pruvataj. Unu farendo estas la klasado de reela nombroj kiuj povas esti skribata decimale kun signo (+/-), ciferoj por la entjera parto, decimala signo, kaj vico de ciferoj por la frakcia parto. Do por 0,999…, la entjera parto povus esti b₀, kaj la decimala ekspansio estas

b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots

Gravas, ke la frakcia parto, malsimila ol la entjera parto, povas havi senlima nombro de ciferoj. Tiu estas pozicia skribado, do ekzemple la 5 en 500 kontribuas dekoble pli ke la 5 en 50.

0,999... en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)
Kategorio 0,999... en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

[1]
angle cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.

Anglalingvaj

[CME-1] [1]
angle cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.

[1]