Τυπικό σύστημα

Στην λογική, ένα τυπικό σύστημα (formal system), ή λογικό σύστημα (logic system), ή απλά λογική αποτελείται από μια τυπική γλώσσα σε συδυασμό με ένα συμπερασματικό σύστημα, που αποτελείται από ένα σύνολο από συμπερασματικούς κανόνες και/ή αξιώματα. Ένα τυπικό σύστημα χρησιμοποιείται για να παράγει μια έκφραση από μια ή περισσότερες άλλες εκφράσεις που διατυπώνονται ως υποθέσεις. Οι εκφράσεις αυτές λέγονται αξιώματα, στην περίπτωση που υποτίθεται ότι είναι αληθείς, ή θεωρήματα, στην περίπτωση που παράγονται. Ένα τυπικό σύστημα μπορεί να διατυπωθεί και να μελετηθεί για τις εγγενείς του ιδιότητες, ή μπορεί να έχει στόχο την περιγραφή εξωτερικών φαινομένων (μοντέλο).

Γενικά

Κάθε τυπικό σύστημα περιλαμβάνει μια τυπική γλώσσα που συντίθεται από πρωτογενή σύμβολα. Τα σύμβολα αυτά συμπεριφέρονται και συντάσσονται βάσει συγκεκριμένων κανόνων και αναπτύσσονται συναγωγικά από ένα σύνολο αξιωμάτων. Έτσι, το σύστημα απαρτίζεται από οποιοδήποτε αριθμό τύπων που συντίθενται με πεπερασμένους συνδυασμούς πρωτογενών συμβόλων, συνδυασμοί που διαμορφώνονται από τα αξιώματα με βάση τους ορισμένους κανόνες.

Τα τυπικά συστήματα στα μαθηματικά αποτελούνται από τα παρακάτω στοιχεία:

1. Ένα πεπερασμένο σύνολο από σύμβολα (δηλαδή ένα αλφάβητο) που χρησιμοποιούνται για να κατασκευαστούν διατυπώσεις (δηλαδή πεπερασμένες συμβολοσειρές).
2. Μια γραμματική, που καθορίζει πως οι καλά ορισμένη διατύπωση κατασκευάζονται από τα σύμβολα του αλφαβήτου. Συνήθως απαιτείται να υπάρχει μια διαδικασία που να αποφασίζει αν μια διατύπωση είναι καλά ορισμένη.
3. Ένα σύνολο από αξιώματα ή σχήμα αξιωμάτων, όπου κάθε αξίωμα (ή παραγόμενο αξίωμα) πρέπει να είναι καλά ορισμένο.
4. Ένα σύνολο από συμπερασματικούς κανόνες.

Ένα τυπικό σύστημα λέγεται αναδρομικό αν το σύνολο των αξιωμάτων και το σύνολο των συμπερασματικών κανόνων είναι αποκρίσιμα σύνολα ή ημιαποκρίσιμα σύνολα, ανάλογα με την περίπτωση.