Παραβολή (γεωμετρία)

Στη Γεωμετρία παραβολή ονομάζεται η επίπεδη καμπύλη που προκύπτει από την τομή άπειρου κώνου από επίπεδο παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού. (Γενέτειρα του κώνου ονομάζεται η ευθεία που, αν περιστραφεί γύρω από τον άξονα του κώνου, παράγει, δηλαδή "γεννά", την επιφάνεια του κώνου). Εδώ λέγοντας κώνος εννοείται άπειρος διπλός κώνος, δηλ. οι γενέτειρές του προεκτείνονται απεριόριστα από την κορυφή του και προς τις δύο κατευθύνσεις. Συνεπώς, η παραβολή είναι ανοιχτή, απεριόριστη (δίχως άκρα) καμπύλη.

Η παραβολή ως κωνική τομή.

Βασικές έννοιες και εναλλακτικός ορισμός

Τα σημεία P της παραβολής ισαπέχουν από τα σημεία Q της διευθετούσας L και την εστία F.

Η παραβολή ορίζεται ισοδύναμα και ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ενός επιπέδου Π που ισαπέχουν από δεδομένη ευθεία δ (L στο σχήμα) του επιπέδου και σημείο Ε ('F' στο σχήμα) του επιπέδου εκτός της ευθείας δ. Συμβολικά ${\displaystyle \left\{X|{\overline {XE}}={\overline {X\delta }}\right\}}$. Τότε το σημείο Ε καλείται εστία της παραβολής και η δ διευθετούσα της παραβολής.

Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία α, καλούμενη άξονας της παραβολής, η οποία είναι κάθετος στη διευθετούσα δ και διέρχεται από την εστία Ε.

Έστω 2p η απόσταση μεταξύ της διευθετούσας και της εστίας. Θεωρούμε το σημείο τομής Β της διευθετούσας και του άξονα της παραβολής. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΒΕ είναι προφανώς 2p. Το μέσο Α του ΒΕ ανήκει προφανώς στην παραβολή και ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Το Α ισαπέχει από τη διευθετούσα και την εστία κατά απόσταση p.

Η ευθεία που περνά από την εστία και την κορυφή της παραβολής ονομάζεται άξονας και αποτελεί άξονα συμμετρίας της παραβολής.

Εξισώσεις της Παραβολής

Κανονική μορφή

Μία παραβολή θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν η κορυφή της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και ο άξονάς της συμπίπτει με τον άξονα τετμημένων του συστήματος συντεταγμένων.

Η εξίσωση της παραβολής με εστία ${\displaystyle E\left({\frac {p}{2}},0\right)}$ και διευθετούσα δ: ${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}}$ σε Καρτεσιανές συντεταγμένες είναι:

${\displaystyle y^{2}=2px\,}$.

Ο αριθμός p λέγεται παράμετρος της παραβολής και η απόλυτη τιμή του εκφράζει την απόσταση της εστίας από την διευθετούσα.

Ομοίως η εξίσωση της παραβολής με εστία ${\displaystyle E\left(0,{\frac {p}{2}}\right)}$ και διευθετούσα δ: ${\displaystyle y=-{\frac {p}{2}}}$ σε Καρτεσιανές συντεταγμένες είναι:

${\displaystyle x^{2}=2py\,}$.

Γενική μορφή

Έστω μία κωνική τομή

${\displaystyle \,ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0.}$

Η καμπύλη αυτή είναι παραβολή, αν ${\displaystyle \,4ac=b^{2}}$ και τουλάχιστον ένα των a, c είναι διάφορο του μηδενός.

Η Παραβολή ως συνάρτηση

${\displaystyle \,f(x)=ax^{2}+bx+c.}$

• Δείτε επίσης: Δευτεροβάθμια εξίσωση

Εφαπτομένη

Η εφαπτομένη της παραβολής με εξίσωση ${\displaystyle \,y^{2}=2px}$ , στο σημείο ${\displaystyle \,A(x_{1},y_{1})}$ της παραβολής είναι:

${\displaystyle \,y_{1}y=p(x+x_{1})}$

Αντιστοίχως, η εφαπτομένη της παραβολής με εξίσωση ${\displaystyle \,x^{2}=2py}$ , στο σημείο ${\displaystyle \,A(x_{1},y_{1})}$ της παραβολής είναι:

${\displaystyle \,x_{1}x=p(y+y_{1})}$

Ιδιότητες

Οπτική

Ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής Αν η ευθεία ε είναι η εφαπτομένη της παραβολής στο Β και η ευθεία ζ είναι κάθετη στην ε στο σημείο Β, τότε η ζ διχοτομεί την γωνία που σχηματίζουν οι ημιευθείες BC και BE. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής και έχει χρήση στα παραβολικά τηλεσκόπια, στα ραντάρ, στα φανάρια των αυτοκινήτων κτλ.

Ανάκλαση παράλληλων ακτίνων

Συγκεκριμένα:

Όσες ακτίνες φωτός είναι παράλληλες προς τον άξονα ενός παραβολικού κατόπτρου,όταν προσπίπτουν στο κάτοπτρο, ανακλώμενες, συγκεντρώνονται στην εστία. Αυτή είναι η αρχή λειτουργίας των παραβολικών τηλεσκοπίων και των ραντάρ.

κοίλο-παραβολικό κάτοπτρο

Στα φανάρια των αυτοκινήτων που έχουν παραβολικά κάτοπτρα, οι λαμπτήρες τοποθετούνται στην εστία τους. Έτσι οι φωτεινές ακτίνες ανακλώμενες στο κάτοπτρο εξέρχονται παράλληλα προς τον άξονά του .