Διαφορικός λογισμός
τι είναι ο διαφορικός λογισμός (μελέτη έννοιας ); / From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, ο διαφορικός λογισμός είναι μία υποκατηγορία του λογισμού με αντικείμενο τη μελέτη των ρυθμών μεταβολής των ποσοτήτων. Είναι μία από τις δύο παραδοσιακές υποδιαιρέσεις του λογισμού. Η άλλη είναι ο ολοκληρωτικός λογισμός.
Τα πρωτογενή αντικείμενα μελέτης του διαφορικού λογισμού είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης, που σχετίζεται με έννοιες όπως το διαφορικό και οι εφαρμογές του.Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης κοντά σε αυτή την τιμή εισόδου. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφόριση (παραγώγιση). Γεωμετρικά, η παράγωγος σε ένα σημείο είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο, με την προϋπόθεση ότι η παράγωγος υπάρχει και ορίζεται στο σημείο αυτό. Για μια συνάρτηση πραγματικών αριθμών μιας μόνο πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος της συνάρτησης σε ένα σημείο καθορίζει γενικά την καλύτερη γραμμική προσέγγιση στη συνάρτηση σε αυτό το σημείο.
Ο διαφορικός λογισμός και ο ολοκληρωτικός λογισμός συνδέονται με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, το οποίο αναφέρει ότι η διαφόριση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.
Η διαφόριση έχει εφαρμογές σε όλες σχεδόν τις ποσοτικές επιστήμες. Για παράδειγμα, στη φυσική η παράγωγος της μετατόπισης ενός κινούμενου σώματος σε σχέση με το χρόνο είναι η ταχύτητα του σώματος, και η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι η επιτάχυνση του. Η παράγωγος της ορμής ενός σώματος ισούται με τη δύναμη που ασκείται στο σώμα, αναδιατάσσοντας αυτή την παράγωγο οδηγεί στην περίφημη εξίσωση F = ma που σχετίζεται με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Ο βαθμός αντίδρασης μιας χημικής αντίδρασης είναι μια παράγωγος. Στην επιχειρησιακή έρευνα, οι παράγωγοι καθορίζουν τους πιο αποτελεσματικούς τρόπους για την μεταφορά υλικών και για την σχεδίαση εργοστασίων.
Οι παράγωγοι χρησιμοποιούνται συχνά για να υπολογισθούν το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης . Οι εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους ονομάζoνται διαφορικές εξισώσεις και είναι θεμελιώδεις για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων . Οι παράγωγοι και οι γενικεύσεις τους εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών , όπως η μιγαδική ανάλυση , η συναρτησιακή ανάλυση , η διαφορική γεωμετρία , η θεωρία μέτρου και η αφηρημένη άλγεβρα.