Συνάρτηση κατανομής

Έστω ένας χώρος πιθανότητας ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ και μια πραγματική τυχαία μεταβλητή ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ πάνω σε αυτόν. Η συνάρτηση ${\displaystyle F_{X}:\mathbb {R} \to [0,1]}$ με

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=P\left(\lbrace \omega \in \Omega \mid X(\omega )\leq x\rbrace \right)}$

ονομάζεται συνάρτηση κατανομής (σ.κ., ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής, α.σ.κ.) της τυχαίας μεταβλητής.

Παραδείγματα συναρτήσεων κατανομής.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές x₁, x₂, ... με πιθανότητα p(x_i) = P(Χ=x_i) η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

${\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).}$

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

${\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\operatorname {d} t}$

Ιδιότητες

Μια συνάρτηση κατανομής είναι αύξουσα και δεξιά συνεχής. Επίσης ισχύει

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1.}$

Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να παίρνει τιμές σε ένα διάστημα είναι

${\displaystyle P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a)}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Συνάρτηση κατανομής