EL
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Φθίνουσα ταλάντωση

From Wikipedia, the free encyclopedia

Φθίνουσα ταλάντωση
Επίλυση της εξίσωσης του ΝεύτωναΠαραπομπέςΠηγέςΒιβλιογραφία

Φθίνουσα ή αποσβεννύμενη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η μείωση του πλάτους ονομάζεται απόσβεση.

Το φαινόμενο οφείλεται στην απώλεια ενέργειας από το ταλαντευόμενο σύστημα προς το περιβάλλον. Αυτό φαίνεται και από τον τύπο E=(1/2)kA2 που ισχύει σε κάθε ταλάντωση, όπου Ε η ενέργεια του ταλαντευόμενου συστήματος, k μία σταθερά και Α το πλάτος της ταλάντωσης. Έτσι, όταν μειώνεται η ενέργεια μειώνεται και το πλάτος.

Η απώλεια της ενέργειας συνήθως οφείλεται σε δυνάμεις οι οποίες αντιστέκονται στην κίνηση. Αυτές οι δυνάμεις συνήθως είναι τριβές. Όσο μεγαλύτερες κατά μέτρο είναι αυτές οι δυνάμεις, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση.

Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης, στην περίπτωση οριζόντιας ταλάντωσης με τριβές ολίσθησης σταθερού μέτρου, είναι ίδια με την περίοδο της αμείωτης ταλάντωσης (χωρίς τριβή ολίσθησης)[1]. Αντίθετα, στην περίπτωση που η δύναμη της αντίστασης είναι ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος τότε η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης αυξάνεται[2] και η αύξηση αυτή μπορεί να είναι ανεπαίσθητη ή ακόμη να γίνει υπερβολικά μεγάλη, ώστε η κίνηση να μην είναι πλέον ταλάντωση.

Σημαντικό παράδειγμα αποσβεννύμενης ταλάντωσης είναι ένα σύστημα απλής αρμονικής ταλάντωσης στο οποίο ενεργεί δύναμη της μορφής F=-bv, όπου b μία σταθερά και v η ταχύτητα. Η σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Βάσει του παραπάνω μοντέλου δύναμης τριβής, η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι,

E ( t ) = E 0 e − t / τ   , {\displaystyle E(t)=E_{0}e^{-t/\tau }\ ,} {\displaystyle E(t)=E_{0}e^{-t/\tau }\ ,}

όπου Ε(t) η ενέργεια τη χρονική στιγμή t, Ε0 η αρχική ενέργεια (η ενέργεια τη στιγμή t=0) και τ ο λεγόμενος χαρακτηριστικός χρόνος απόσβεσης που εξαρτάται από τη σταθερά b, τη μάζα m του σώματος και τη σταθερά ελατηρίου k. Αποδεικνύεται ότι τα διαδοχικά χρονικώς μέγιστα που λαμβάνει αυτή η ταλάντωση είναι όροι φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Η εξίσωση αυτής της φθίνουσας ταλάντωσης με το παραπάνω μοντέλο δύναμης τριβής στη περίπτωση όπου ω0>γ (ω02=k/m η φυσική συχνότητα του συστήματος) είναι της γενικής μορφής:

x ( t ) = A 0   e − t / τ sin ⁡ ( ω t + φ 0 )   , {\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-t/\tau }\sin {(\omega t+\varphi _{0})}\ ,} {\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-t/\tau }\sin {(\omega t+\varphi _{0})}\ ,}

όπου ω<ω0 η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης (η οποία εξαρτάται τόσο από τη φυσική συχνότητα όσο και από τη σταθερά απόσβεσης), A0 η απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 και φ0 η αρχική φάση.

Η φθίνουσα ταλάντωση εφαρμόζεται στις αναρτήσεις των αυτοκινήτων.

Thumb
Παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης για τις τρεις βασικές περιπτώσεις - υποκρίσιμη, κρίσιμη και υπερκρίσιμη απόσβεση.

Δεδομένης της μορφής της δύναμης τριβής που δόθηκε παραπάνω, η μονοδιάστατη εξίσωση του Νεύτωνα καταλήγει στην παρακάτω διαφορική εξίσωση:

m x ¨ = − k x − b x ˙ ⇔ x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx-b{\dot {x}}\Leftrightarrow {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0} {\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx-b{\dot {x}}\Leftrightarrow {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}

όπου θέσαμε ω 0 2 = k / m {\displaystyle \omega _{0}^{2}=k/m} {\displaystyle \omega _{0}^{2}=k/m}, την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης αν δεν υπήρχε απόσβεση, και 2 γ = b / m {\displaystyle 2\gamma =b/m} {\displaystyle 2\gamma =b/m}. Υποθέτωντας εκθετικές λύσεις της μορφής x ( t ) ∝ e ρ t {\displaystyle x(t)\propto e^{\rho {t}}} {\displaystyle x(t)\propto e^{\rho {t}}} και αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκουμε ότι οι δυνατές τιμές της σταθεράς ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } είναι:

ρ 1 , 2 = − γ ± γ 2 − ω 0 2 {\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}} {\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}

Μπορεί λοιπόν κανείς να διακρίνει τις παρακάτω βασικές περιπτώσεις:


α) Υποκρίσιμη απόσβεση (γ<ω0)

Στη παραπάνω περίπτωση,

ρ 1 , 2 = − γ ± i ω 0 2 − γ 2 {\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}} {\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα για την απομάκρυνση θα είναι λοιπόν

x ( t ) = A 0   e − γ t sin ⁡ ( ω t + φ 0 )   , {\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-\gamma t}\sin {(\omega t+\varphi _{0})}\ ,} {\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-\gamma t}\sin {(\omega t+\varphi _{0})}\ ,}

όπου

A 0 = c 1 2 + c 2 2 ,       φ 0 = tan − 1 ⁡ ( c 1 / c 2 ) ,       ω = ω 0 2 − γ 2 {\displaystyle A_{0}={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}},\ \ \ \varphi _{0}=\tan ^{-1}(c_{1}/c_{2}),\ \ \ \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}} {\displaystyle A_{0}={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}},\ \ \ \varphi _{0}=\tan ^{-1}(c_{1}/c_{2}),\ \ \ \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}
c 1 = x 0 ,       c 2 = γ x 0 + v 0 ω {\displaystyle c_{1}=x_{0},\ \ \ c_{2}={\frac {\gamma x_{0}+v_{0}}{\omega }}} {\displaystyle c_{1}=x_{0},\ \ \ c_{2}={\frac {\gamma x_{0}+v_{0}}{\omega }}}

Οι ποσότητες x0 και v0 αντιστοιχούν στην αρχική θέση και ταχύτητα του σώματος. Η γωνία φ ονομάζεται αρχική φάση

Είναι χρήσιμο να εισαγάγουμε τον χαρακτηριστικό χρόνο απόσβεσης, τ, του συστήματος ο οποίος ορίζεται ως 1/γ έτσι ώστε

x ( t ) = A 0   e − t / τ sin ⁡ ( ω t + φ 0 ) {\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-t/\tau }\sin {(\omega t+\varphi _{0})}} {\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-t/\tau }\sin {(\omega t+\varphi _{0})}}

Η φυσική σημασία του χαρακτηριστικού χρόνου απόσβεσης είναι ο εξής: Σε χρόνο τ, το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται στο 1/e του αρχικού πλάτους Α0.

Το σώμα θα εκτελεί λοιπόν μία φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο

T = 2 π ω = ω 0 ω 0 2 − γ 2   T 0   , {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}\ T_{0}\ ,} {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}\ T_{0}\ ,}

όπου Τ0 η περίοδος που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχε η δύναμη τριβής. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι Τ>Τ0, δηλαδή η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης.


β) Κρίσιμη απόσβεση (γ=ω0)

Σε αυτή τη περίπτωση,

ρ 1 , 2 = − γ       {\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \ \ \ } {\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \ \ \ }

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα στη περίπτωση αυτή είναι

x ( t ) = ( c 1 + c 2 t ) e − t / τ   , {\displaystyle x(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{-t/\tau }\ ,} {\displaystyle x(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{-t/\tau }\ ,}

όπου

c 1 = x 0 ,       c 2 = v 0 + γ x 0 {\displaystyle c_{1}=x_{0},\ \ \ c_{2}=v_{0}+\gamma x_{0}} {\displaystyle c_{1}=x_{0},\ \ \ c_{2}=v_{0}+\gamma x_{0}}


γ) Υπερκρίσιμη απόσβεση (γ>ω0)

Στη περίπτωση αυτή,

ρ 1 , 2 = − γ ± γ 2 − ω 0 2 {\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}} {\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα θα είναι λοιπόν:

x ( t ) = c 1 e γ + t + c 2 e γ − t   , {\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\gamma _{+}t}+c_{2}e^{\gamma _{-}t}\ ,} {\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\gamma _{+}t}+c_{2}e^{\gamma _{-}t}\ ,}

όπου

γ + = − γ + γ 2 − ω 0 2 ,       γ − = − γ − γ 2 − ω 0 2 {\displaystyle \gamma _{+}=-\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}},\ \ \ \gamma _{-}=-\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}} {\displaystyle \gamma _{+}=-\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}},\ \ \ \gamma _{-}=-\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}
c 1 = v 0 − γ − x 0 γ + − γ − ,       c 2 = γ + x 0 − v 0 γ + − γ − {\displaystyle c_{1}={\frac {v_{0}-\gamma _{-}x_{0}}{\gamma _{+}-\gamma {-}}},\ \ \ c_{2}={\frac {\gamma _{+}x_{0}-v_{0}}{\gamma _{+}-\gamma _{-}}}} {\displaystyle c_{1}={\frac {v_{0}-\gamma _{-}x_{0}}{\gamma _{+}-\gamma {-}}},\ \ \ c_{2}={\frac {\gamma _{+}x_{0}-v_{0}}{\gamma _{+}-\gamma _{-}}}}
  1. [1]
    Χατζηθεοδωρίδης, Στυλιανός (Ιούλιος 2011). «Φθίνουσες γραμμικές ταλαντώσεις πάνω σε οριζόντιο επίπεδο» (PDF). SHSoft.gr, Ανάπτυξη λογισμικού. Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 25 Δεκεμβρίου 2019. Ανακτήθηκε στις 25 Δεκεμβρίου 2019.
  2. [2]
    Χατζηθεοδωρίδης, Στυλιανός (Νοέμβριος 2008). «Φθίνουσες μηχανικές γραμμικές ταλαντώσεις, με τη δύναμη τριβής να είναι της μορφής F=-bυ» (PDF). SHSoft.gr ανάπτυξη λογισμικού. Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 25 Δεκεμβρίου 2019. Ανακτήθηκε στις 25 Δεκεμβρίου 2019.
  • Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Τάξης Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, έκδοση Η΄,Αθήνα 2008, ISBN 960-06-1154-8
  • Τραχανάς Σ. (2005), Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Πανεπστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.
  • Τσίγκανος Κ. (2004), Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη ΑΕ.


Stub icon Αυτό το λήμμα σχετικά με τη Φυσική χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Επίλυση της εξίσωσης του Νεύτωνα

Παραπομπές

Πηγές

Βιβλιογραφία