Φθίνουσα ταλάντωση

Φθίνουσα ή αποσβεννύμενη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η μείωση του πλάτους ονομάζεται απόσβεση.

Το φαινόμενο οφείλεται στην απώλεια ενέργειας από το ταλαντευόμενο σύστημα προς το περιβάλλον. Αυτό φαίνεται και από τον τύπο E=(1/2)kA² που ισχύει σε κάθε ταλάντωση, όπου Ε η ενέργεια του ταλαντευόμενου συστήματος, k μία σταθερά και Α το πλάτος της ταλάντωσης. Έτσι, όταν μειώνεται η ενέργεια μειώνεται και το πλάτος.

Η απώλεια της ενέργειας συνήθως οφείλεται σε δυνάμεις οι οποίες αντιστέκονται στην κίνηση. Αυτές οι δυνάμεις συνήθως είναι τριβές. Όσο μεγαλύτερες κατά μέτρο είναι αυτές οι δυνάμεις, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση.

Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης, στην περίπτωση οριζόντιας ταλάντωσης με τριβές ολίσθησης σταθερού μέτρου, είναι ίδια με την περίοδο της αμείωτης ταλάντωσης (χωρίς τριβή ολίσθησης)^[1]. Αντίθετα, στην περίπτωση που η δύναμη της αντίστασης είναι ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος τότε η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης αυξάνεται^[2] και η αύξηση αυτή μπορεί να είναι ανεπαίσθητη ή ακόμη να γίνει υπερβολικά μεγάλη, ώστε η κίνηση να μην είναι πλέον ταλάντωση.

Σημαντικό παράδειγμα αποσβεννύμενης ταλάντωσης είναι ένα σύστημα απλής αρμονικής ταλάντωσης στο οποίο ενεργεί δύναμη της μορφής F=-bv, όπου b μία σταθερά και v η ταχύτητα. Η σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Βάσει του παραπάνω μοντέλου δύναμης τριβής, η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι,

${\displaystyle E(t)=E_{0}e^{-t/\tau }\ ,}$

όπου Ε(t) η ενέργεια τη χρονική στιγμή t, Ε₀ η αρχική ενέργεια (η ενέργεια τη στιγμή t=0) και τ ο λεγόμενος χαρακτηριστικός χρόνος απόσβεσης που εξαρτάται από τη σταθερά b, τη μάζα m του σώματος και τη σταθερά ελατηρίου k. Αποδεικνύεται ότι τα διαδοχικά χρονικώς μέγιστα που λαμβάνει αυτή η ταλάντωση είναι όροι φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Η εξίσωση αυτής της φθίνουσας ταλάντωσης με το παραπάνω μοντέλο δύναμης τριβής στη περίπτωση όπου ω₀>γ (ω₀²=k/m η φυσική συχνότητα του συστήματος) είναι της γενικής μορφής:

${\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-t/\tau }\sin {(\omega t+\varphi _{0})}\ ,}$

όπου ω<ω₀ η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης (η οποία εξαρτάται τόσο από τη φυσική συχνότητα όσο και από τη σταθερά απόσβεσης), A₀ η απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 και φ₀ η αρχική φάση.

Η φθίνουσα ταλάντωση εφαρμόζεται στις αναρτήσεις των αυτοκινήτων.

Επίλυση της εξίσωσης του Νεύτωνα

Παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης για τις τρεις βασικές περιπτώσεις - υποκρίσιμη, κρίσιμη και υπερκρίσιμη απόσβεση.

Δεδομένης της μορφής της δύναμης τριβής που δόθηκε παραπάνω, η μονοδιάστατη εξίσωση του Νεύτωνα καταλήγει στην παρακάτω διαφορική εξίσωση:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx-b{\dot {x}}\Leftrightarrow {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$

όπου θέσαμε ${\displaystyle \omega _{0}^{2}=k/m}$, την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης αν δεν υπήρχε απόσβεση, και ${\displaystyle 2\gamma =b/m}$. Υποθέτωντας εκθετικές λύσεις της μορφής ${\displaystyle x(t)\propto e^{\rho {t}}}$ και αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκουμε ότι οι δυνατές τιμές της σταθεράς ${\displaystyle \rho }$ είναι:

${\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

Μπορεί λοιπόν κανείς να διακρίνει τις παρακάτω βασικές περιπτώσεις:

α) Υποκρίσιμη απόσβεση (γ<ω₀)

Στη παραπάνω περίπτωση,

${\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm i{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα για την απομάκρυνση θα είναι λοιπόν

${\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-\gamma t}\sin {(\omega t+\varphi _{0})}\ ,}$

όπου

${\displaystyle A_{0}={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}},\ \ \ \varphi _{0}=\tan ^{-1}(c_{1}/c_{2}),\ \ \ \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$

${\displaystyle c_{1}=x_{0},\ \ \ c_{2}={\frac {\gamma x_{0}+v_{0}}{\omega }}}$

Οι ποσότητες x₀ και v₀ αντιστοιχούν στην αρχική θέση και ταχύτητα του σώματος. Η γωνία φ ονομάζεται αρχική φάση

Είναι χρήσιμο να εισαγάγουμε τον χαρακτηριστικό χρόνο απόσβεσης, τ, του συστήματος ο οποίος ορίζεται ως 1/γ έτσι ώστε

${\displaystyle x(t)=A_{0}\ e^{-t/\tau }\sin {(\omega t+\varphi _{0})}}$

Η φυσική σημασία του χαρακτηριστικού χρόνου απόσβεσης είναι ο εξής: Σε χρόνο τ, το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται στο 1/e του αρχικού πλάτους Α₀.

Το σώμα θα εκτελεί λοιπόν μία φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}\ T_{0}\ ,}$

όπου Τ₀ η περίοδος που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχε η δύναμη τριβής. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι Τ>Τ₀, δηλαδή η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης.

β) Κρίσιμη απόσβεση (γ=ω₀)

Σε αυτή τη περίπτωση,

${\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \ \ \ }$

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα στη περίπτωση αυτή είναι

${\displaystyle x(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{-t/\tau }\ ,}$

όπου

${\displaystyle c_{1}=x_{0},\ \ \ c_{2}=v_{0}+\gamma x_{0}}$

γ) Υπερκρίσιμη απόσβεση (γ>ω₀)

Στη περίπτωση αυτή,

${\displaystyle \rho _{1,2}=-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα θα είναι λοιπόν:

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\gamma _{+}t}+c_{2}e^{\gamma _{-}t}\ ,}$

όπου

${\displaystyle \gamma _{+}=-\gamma +{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}},\ \ \ \gamma _{-}=-\gamma -{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle c_{1}={\frac {v_{0}-\gamma _{-}x_{0}}{\gamma _{+}-\gamma {-}}},\ \ \ c_{2}={\frac {\gamma _{+}x_{0}-v_{0}}{\gamma _{+}-\gamma _{-}}}}$