Τύπος του Ήρωνα

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ και ${\displaystyle \gamma }$ έχει εμβαδό ^{[1][2][3][4][5]}

${\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {\tau \left(\tau -\alpha \right)\left(\tau -\beta \right)\left(\tau -\gamma \right)}}}$,

Έστω ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Από το ημιάθροισμά τους υπολογίζετε η ημιπερίμετρος ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}$, που χρησιμοποιείται στον τύπο του Ήρωνα.

όπου ${\displaystyle \tau }$ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:

${\displaystyle \tau ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}$.

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha +\beta -\gamma )(\beta +\gamma -\alpha )(\gamma +\alpha -\beta )}}.}$

Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον Ήρων. Ο τύπος του Ήρωνα γενικεύεται για όλα τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.

Απόδειξη

Τρίγωνο με πλευρές ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$, κορυφές ${\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } }$ και το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$.

Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής:

Έστω ένα τρίγωνο με πλευρές ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ και ${\displaystyle \mathrm {A} }$, ${\displaystyle \mathrm {B} }$, ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ οι απέναντί τους γωνίες. Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων για την γωνία ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}}$ έχουμε ότι:

${\displaystyle \cos {\rm {\Gamma }}={\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha \beta }}}$.

Από τη σχέση του ημιτόνου και του συνημιτόνου έχουμε ότι:

${\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\sqrt {1-\cos ^{2}{\rm {\Gamma }}}}={\frac {\sqrt {4\alpha ^{2}\beta ^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})^{2}}}{2\alpha \beta }}}$.

Χρησιμοποιώντας τη διαφορά τετραγώνων ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y)}$ έχουμε ότι:

${\displaystyle \sin {\rm {\Gamma }}={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(2\alpha \beta -(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}))\cdot (2\alpha \beta +(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}))}}.}$

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$, προκύπτει ότι:

${\displaystyle \sin {\rm {\Gamma }}={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(\gamma ^{2}-(\alpha -\beta )^{2})\cdot ((\alpha +\beta )^{2}-\gamma ^{2}))}}.}$

Χρησιμοποιώντας πάλι τη διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι

${\displaystyle \sin {\rm {\Gamma }}={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(\gamma -\alpha +\beta )\cdot (\gamma +\alpha -\beta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma )\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}={\frac {2}{\alpha \beta }}\cdot {\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot \tau }}.}$

Το ύψος ${\displaystyle \upsilon _{\rm {A}}}$ του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά ${\displaystyle \alpha }$ έχει μήκος

${\displaystyle \upsilon _{\rm {A}}=\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }},}$

και έτσι έχουμε ότι

${\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}({\beta {\acute {\alpha }}\sigma \eta })({{\acute {\upsilon }}\psi \mathrm {o} \varsigma })={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \upsilon _{\rm {A}}={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot \tau }}}$,

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Γενικεύσεις

Τύπος Βραχμαγκούπτα

Κύριο λήμμα: Τύπος Βραχμαγκούπτα

Ο τύπος Βραχμαγκούπτα γενικεύει αυτόν τον τύπο για τον εμβαδόν οποιουδήποτε εγγράψιμου τετραπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, για ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ και ημιπερίμετρο ${\displaystyle \tau }$, το εμβαδόν του είναι ίσο με

${\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}.}$

Τύπος Bretschneider

Κύριο λήμμα: Τύπος Bretschneider

Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο σχήμα με πλευρές ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ και γωνίες ${\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } ,\mathrm {\Delta } }$ ως

${\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-{\frac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos({\rm {A}}+{\rm {\Gamma }}))}}}$.

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο του Ήρωνα
• Τύπος Βραχμαγκούπτα
• Τύπος Bretschneider

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Αποδείξεις για τον τύπο του Ήρωνα

Ελληνικά άρθρα

• Παπαδάτος Ιωάννης (1976). «Ο τύπος του Ήρωνα είναι του Αρχιμήδη». Ευκλείδης Β΄ (5): 5-6.
• Ν. Κισκύρας (1980). «Αριθμητικές Τετράδες του Ήρωνα - Ηρώνεια Τρίγωνα». Ευκλείδης Β΄ (3): 8-9.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Bényi, Árpád (Ιουλίου 2003). «87.47 A Heron-type formula for the triangle». The Mathematical Gazette 87 (509): 324–326. doi:10.1017/S0025557200172882. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-07_87_509/page/324.
• Lowry, H. V. (Οκτωβρίου 1964). «116. Heron's formula». The Mathematical Gazette 48 (365): 312–313. doi:10.2307/3613028. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1964-10_48_365/page/312.
• Lord, Nick (2013). «97.29 A family of Heron-type formulae for the triangle». The Mathematical Gazette 97 (539): 294-297. https://www.jstor.org/stable/24496814.
• Nelsen, Roger B. (Σεπτεμβρίου 2001). «Heron's Formula via Proofs without Words». The College Mathematics Journal 32 (4): 290. doi:10.2307/2687566. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2001-09_32_4/page/290.
• Josefsson, Martin (2016). 100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals. 100, σελ. 505-508. https://www.jstor.org/stable/44161660.
• Stroethoff, Karel (Ιουλίου 1999). «83.37 Heron’s formula via complex numbers». The Mathematical Gazette 83 (497): 292–293. doi:10.2307/3619066. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1999-07_83_497/page/292.