Στατιστική μηχανική

Η στατιστική μηχανική ή στατιστική φυσική είναι η εφαρμογή της θεωρίας πιθανοτήτων, η οποία περιλαμβάνει τα μαθηματικά εργαλεία για την αντιμετώπιση μεγάλων πληθυσμών, στο πεδίο της μηχανικής, η οποία ασχολείται με την κίνηση σωματιδίων ή αντικειμένων που υπόκεινται σε μια δύναμη.

Στην εφαρμοσμένη στατιστική μηχανική καταστρώνονται θεωρίες υπό κλειστή μορφή σαν συστήματα αλγεβρικών ή ολοκληρο-διαφορικών εξισώσεων, που επιδέχονται αναλυτική ή αριθμητική επίλυση. Συνήθως βασίζονται σε απλοποιητικές παραδοχές.

Πραγματοποιεί τη σύνδεση μεταξύ των μικροσκοπικών ιδιοτήτων των ατόμων και των μορίων, με τις μακροσκοπικές ιδιότητες των υλικών που παρατηρούνται στην καθημερινή ζωή, εξηγώντας κατά συνέπεια τη θερμοδυναμική ως το φυσικό αποτέλεσμα της στατιστικής και της μηχανικής (κλασικής και κβαντικής) σε μικροσκοπικό επίπεδο. Πιο συγκεκριμένα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των θερμοδυναμικών ιδιοτήτων των υλικών από τη φασματοσκοπική ανάλυση και πληροφορία των μορίων.

Η ικανότητα της πραγματοποίησης μακροσκοπικών προβλέψεων βασισμένων σε μικροσκοπικές ιδιότητες, είναι η βασική σύνδεση μεταξύ της στατιστικής μηχανικής και της θερμοδυναμικής. Και οι δύο θεωρίες βασίζονται πάνω στον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, μέσω της εντροπίας. Όμως, ενώ στη θερμοδυναμική η εντροπία μπορεί να γίνει γνωστή μόνο εμπειρικά, στη στατιστική μηχανική αποτελεί μια συνάρτηση κατανομής του συστήματος, πάνω στις μικροκαταστάσεις του.

Η Στατιστική Φυσική παίζει μεγάλο ρόλο στη Φυσική της Στερεάς Κατάστασης, την Επιστήμη των Υλικών, την Πυρηνική Φυσική, την Αστροφυσική, τη Χημεία, τη Βιολογία και την Ιατρική (π.χ. μελέτη της εξάπλωσης μολυσματικών ασθενειών), στη θεωρία και τεχνική των Πληροφοριών, αλλά και σε εκείνες τις περιοχές της τεχνολογίας που οφείλουν την ανάπτυξή τους στην εξέλιξη της Σύγχρονης Φυσικής. Έχει ακόμη σημαντικές εφαρμογές σε θεωρητικές επιστήμες όπως η Κοινωνιολογία και η Γλωσσολογία και είναι χρήσιμη σε ερευνητές ανώτατης εκπαίδευσης, διοίκησης εταιριών και βιομηχανίας.  

Η βασική αρχή

Η βασική αρχή της στατιστικής μηχανικής είναι το αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων:

Σε ένα απομονωμένο σύστημα που βρίσκεται σε ισορροπία σε μια ορισμένη μακροκατάσταση, οι Ω μικροκαταστάσεις που το αποτελούν έχουν ίση πιθανότητα να εμφανίζονται.

Η αρχή αυτή σημαίνει με άλλα λόγια, πως ένα σύστημα σε ισορροπία δεν έχει καμία προτίμηση για κάποια από τις διαθέσιμες μικροκαταστάσεις του. Συμβολίζοντας με Ω τις μικροκαταστάσεις σε μια συγκεκριμένη ενέργεια, η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα σε μια συγκεκριμένη μικροκατάσταση είναι ${\displaystyle p=1/\Omega }$.

Η αρχή αυτή είναι απαραίτητη, καθώς επιτρέπει σε κάποιον να συμπεράνει πως για ένα σύστημα σε ισορροπία, η θερμοδυναμική κατάσταση (μακροκατάσταση) η οποία θα μπορούσε να είναι αποτέλεσμα του μεγαλύτερου αριθμού των μικροκαταστάσεων είναι επίσης η πιο πιθανή μακροκατάσταση του συστήματος.

Τα παραπάνω βοηθούν στον ορισμό της συνάρτησης πληροφορίας

${\displaystyle I=\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle \ln \rho \rangle }$

Όταν όλα τα ρ είναι ίσα, η Ι είναι ελάχιστη, κάτι που σημαίνει πως έχουμε ελάχιστη πληροφορία για το σύστημα. Όταν η πληροφορία μας είναι μέγιστη (για παράδειγμα, ένα ρ είναι ίσο με τη μονάδα και τα υπόλοιπα μηδέν, γνωρίζουμε δηλαδή επακριβώς σε ποια κατάσταση βρίσκεται το σύστημα), η συνάρτηση παίρνει και αυτή τη μέγιστη τιμή της.

Η ροή των σημειών που αποτελούν ένα στατιστικό σύνολο μέσα στο χώρο φάσεων ονομάζεται εργοδική αν σχεδόν όλα τα σημεία κινούνται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να επισκέπτονται ολόκληρη την υπερεπιφάνεια ενέργειας. Η εργοδική ροή δεν είναι ικανή συνθήκη για να τείνει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας προς την ισορροπία γι αυτό απαιτείται η ισχυρότερη συνθήκη ροής με ανάμειξη. οι παρατηρήσεις αυτές επί της εργοδικής ροής και της ροής με ανάμειξη πάνω σε υπερεπιφάνειες σταθερής ενέργειας αποτελούν μία βάση για την αξιωματική θεμελίωση της στατιστικής μηχανικής ισορροπίας.

Στατιστικές κατανομές

Ανάλογα με τις συνθήκες στις οποίες υποθέτουμε πως βρίσκεται το εκάστοτε σύστημα, υπολογίζουμε διαφορετικά τις μικροκαταστάσεις του, ώστε να εκφράσουμε μέσω αυτών τις μακροσκοπικές ιδιότητες. Υπάρχουν τέσσερις κατανομές (που συχνά ονομάζονται και στατιστικά σύνολα ή στατιστικές ολότητες):

1. Η μικροκανονική κατανομή
2. Η κανονική κατανομή
3. Η μεγαλοκανονική κατανομή
4. Η ισόθερμο-ισοβαρής κατανομή

Πηγές

• Ε. Ν. Οικονόμου Στατιστική Φυσική και Θερμοδυναμική, ISBN 960-7309-76-6, 2013.
• Ε. Ν. Οικονόμου Η Φυσικη σήμερα, 1. Τα θεμέλια, ISBN 960-7309-07-3, 2016.
• Χ. Ζεγκίνογλου, Στατιστική Φυσική της θερμοδυναμικής ισορροπίας, εκδ. Περί Τεχνώ, ISBN 978-960-8260-56-6, 2004.
• F. Mandl, Στατιστική Φυσική, εκδ. Πνευματικός, ISBN 978-960-7258-79-3.
• Αμαλία Κώνστα, Στατιστική Φυσική, Αθήνα 2015.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Στατιστική μηχανική

• E-course: Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική, Ι. Παναγιωτόπουλος
• Κινητική Θεωρία των αερίων (HyperPhysics)(Αγγλικά)
• Κβαντική στατιστική φυσική (HyperPhysics)(Αγγλικά)
• Σημαντικές κατανομές της Στατιστικής Φυσικής (HyperPhysics)(Αγγλικά)