Πρώτο σώμα

Ορισμός

Έστω ${\displaystyle (F,+,\circ )}$ ένα σώμα. Αυτό θα καλείται πρώτο (prime) αν δεν περιέχει γνήσια υποσώματα.

Εφόσον η τομή υποσωμάτων είναι υπόσωμα, προκύπτει άμεσα ότι κάθε σώμα περιέχει ένα μοναδικό πρώτο υπόσωμα και συγκεκριμένα το

${\displaystyle \bigcap K}$, όπου ${\displaystyle K}$ υπόσωμα του ${\displaystyle F}$.

Ακόμα αποδυκνείεται ότι ουσιαστικά τα μόνα πρώτα σώματα είναι το ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ και τα ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, όπου p πρώτος εφόσον κάθε πρώτο σώμα ταυτίζεται ισομορφικά με κάποιο από αυτά. Πιο συγκεκριμένα αν το F είναι πρώτο σώμα με χαρακτηριστική 0, τότε αυτό είναι ισόμορφο με το ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ενώ αν η χαρακτηριστική του F είναι p, όπου p πρώτος τότε το F είναι ισόμορφο με το ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.