Πρότυπο (άλγεβρα)

Ορισμός

Έστω δακτύλιος R.Μια αβελιανή ομάδα Μ εφοδιασμένη με μία απεικόνιση

${\displaystyle \ \circ :R\times M\rightarrow M:(r,m)\mapsto r\circ m}$

την οποία θα ονομάζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό ή R-δράση επί του Μ, καλείται R-πρότυπο (R-module) αν ισχύουν τα εξής:

• ${\displaystyle (r+s)\circ m=r\circ m+s\circ m}$

• ${\displaystyle r\circ (m+n)=r\circ m+r\circ n}$

• ${\displaystyle r\circ (s\circ n)=(r\circ s)\circ n}$

• ${\displaystyle 1\circ m=m}$

για κάθε ${\displaystyle r,s\in R}$ και ${\displaystyle m,n\in M}$

Παραδείγματα

• Αν ο R είναι σώμα ,τότε ένα R-πρότυπο Μ είναι ένας διανυσματικός χώρος επί του R.Υπο αυτή την έννοια μπορούμε να σκεφτόμαστε τα πρότυπα ως γενίκευση της έννοιας του διανυσματικού χώρου.

• Κάθε αβελιανή ομάδα Μ είναι ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ πρότυπο εφοδιασμένη με τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται ως εξής :

${\displaystyle r\circ m={\begin{cases}r\cdot m,r>0\\0,r=0\\(-r)\cdot m,r<0\end{cases}}}$

όπου με ${\displaystyle \cdot }$ συμβολίζεται ο συνήθης πολαπλασιασμός.