Μεσοπαράλληλη ευθεία

Στην γεωμετρία, μεσοπαράλληλη ευθεία (ή απλά μεσοπαράλληλη ή μεσοπαράλληλος) δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη στις δύο άλλες και ισαπέχει από αυτές.^{[1]:149-150[2]:117}

Η μεσοπαράλληλη ${\displaystyle \mu }$ δύο παράλληλων ευθειών ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ αποτελείται από όλ τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.

Η κύρια ιδιότητα της μεσοπαράλληλης είναι ότι είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις δύο παράλληλες ευθείες.

Η μεσοπαράλληλη ως γεωμετρικός τόπος

Θεώρημα — Η μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για την μεσοπαράλληλη.

Έστω ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ δύο παράλληλες ευθείες και ${\displaystyle \mu }$ παράλληλη ευθεία η οποία ισαπέχει από αυτές τις δύο, δηλαδή υπάρχει σημείο ${\displaystyle {\rm {\Sigma }}}$ της ${\displaystyle \mu }$ τέτοιο ώστε ${\displaystyle {\rm {\Sigma K}}={\rm {\Sigma \Lambda }}}$, όπου ${\displaystyle {\rm {K}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Lambda }}}$ τα ίχνη του ${\displaystyle {\rm {\Sigma }}}$ στις ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ αντίστοιχα.

Έστω ${\displaystyle {\rm {\Sigma '}}}$ ένα τυχόν σημείο της ${\displaystyle \mu }$, και ${\displaystyle {\rm {K'}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Lambda '}}}$ τα ίχνη της στις ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$. Το τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {K\Sigma \Sigma 'K'}}}$ είναι παραλληλόγραμμο (καθότι έχει τις πλευρές του παράλληλες), επομένως ${\displaystyle {\rm {\Sigma K}}={\rm {\Sigma 'K'}}}$. Αντίστοιχα, το ${\displaystyle {\rm {\Lambda \Sigma \Sigma '\Lambda '}}}$ είναι παραλληλόγραμμο και ${\displaystyle {\rm {\Sigma \Lambda }}={\rm {\Sigma '\Lambda '}}}$. Καθώς ${\displaystyle {\rm {\Sigma K}}={\rm {\Sigma \Lambda }}}$, καταλήγουμε ότι ${\displaystyle {\rm {\Sigma 'K'}}={\rm {\Sigma '\Lambda '}}}$, και άρα το ${\displaystyle {\rm {\Sigma '}}}$ ισαπέχει από τις ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$.

Για το αντίστροφο, έστω ${\displaystyle \Sigma '}$ ένα σημείο που ισαπέχει από τις ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$, δηλαδή ${\displaystyle {\rm {\Sigma 'K'}}={\rm {\Sigma '\Lambda '}}}$. Καθώς ${\displaystyle {\rm {\Sigma 'K'}}\perp \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Sigma '\Lambda '}}\perp \varepsilon _{2}}$, και οι ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ είναι παράλληλες, έχουμε ότι τα ${\displaystyle {\rm {\Sigma ',K',\Lambda '}}}$ είναι συνευθειακά σημεία. Επειδή ${\displaystyle {\rm {\Sigma K}}={\rm {\Sigma \Lambda }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Sigma 'K'}}={\rm {\Sigma '\Lambda '}}}$, από το αντίστροφο του θεωρήματος τομής του Θαλή, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {\Sigma \Sigma '}}\parallel \varepsilon _{1}}$. Τέλος από κάθε σημείο υπάρχει μόνο μία παράλληλη προς μια ευθεία, άρα το ${\displaystyle {\rm {\Sigma '}}}$ ανήκει στην ${\displaystyle \mu }$.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω δύο παράλληλες ευθείες

${\displaystyle (\varepsilon _{1}):y=\lambda x+\beta _{1}}$,

${\displaystyle (\varepsilon _{2}):y=\lambda x+\beta _{2}}$.

Η μεσοπαράλληλη τους είναι η ευθεία

${\displaystyle (\mu ):y=\lambda x+{\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}}$.

Απόδειξη  

Η μεσοπαράλληλη ${\displaystyle \mu }$ ώντας παράλληλη στις άλλες δύο ευθείες πρέπει να έχει την μορφή

${\displaystyle (\mu ):y=\lambda x+\beta }$,

για κάποια σταθερά ${\displaystyle c}$. Για να υπολογίσουμε την σταθερά ${\displaystyle c}$, θεωρούμε το ${\displaystyle x=0}$ όπου στην ευθεία ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ανήκει το σημείο ${\displaystyle (0,\beta _{1})}$ και στην ευθεία ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ανήκει το σημείο ${\displaystyle (0,\beta _{2})}$. Συνεπώς, στην ${\displaystyle \mu }$ ανήκει το σημείο στο μέσο αυτών που είναι το σημείο

${\displaystyle \left(0,{\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\right)}$.

Επομένως, καταλήγουμε ότι ${\displaystyle \beta ={\tfrac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}}$.

Ιδιότητες

• Η μεσοπαράλληλη δύο ευθειών ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ είναι και ο άξονας συμμετρίας τους.
• Τα σημεία των ευθειών ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν ${\displaystyle d}$ από την ευθεία ${\displaystyle \mu }$, όπου ${\displaystyle 2d}$ είναι απόσταση της ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

1. Θεωρούμε ένα τυχόν σημείο ${\displaystyle {\rm {A}}}$ της ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και δύο σημεία ${\displaystyle {\rm {B_{1}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B_{2}}}}$ της ευθείας ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$.
2. Κατασκευάζουμε τα μέσα ${\displaystyle {\rm {M_{1}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {M_{2}}}}$ των ${\displaystyle {\rm {AB_{1}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {AB_{2}}}}$ αντίστοιχα.
3. Η ευθεία που διέρχεται από τα ${\displaystyle {\rm {M_{1}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {M_{2}}}}$ είναι η μεσοπαράλληλος.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας