Θεώρημα Πιτό

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Πιτό (αναφέρεται και ως θεώρημα Pitot) λέει ότι σε ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ το άθροισμα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσο, δηλαδή ${\displaystyle {\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {B\Gamma }}+{\rm {A\Delta }}}$.

Στο περιγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$, ισχύει ότι ${\displaystyle {\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {B\Gamma }}+{\rm {A\Delta }}}$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ανρί Πιτό που το δημοσίευσε το 1725.^[1][2] Το αντίστροφο του θεωρήματος αποδείχθηκε από τον J. B. Durrande το 1815^[3][4][5] και από τον J. Steiner το 1846.

Απόδειξη

Απόδειξη  

Ισχύει ότι ${\displaystyle {\rm {PA}}={\rm {PB}}}$.

Η βασική ιδιότητα που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ότι για τις δύο εφαπτόμενες που άγονται από ένα σημείο ${\displaystyle {\rm {P}}}$ προς έναν κύκλο, με σημεία επαφής ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}}$, ισχύει ότι ${\displaystyle {\rm {PA}}={\rm {PB}}}$.

Το περιγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$, τα σημεία επαφής και οι αποστάσεις τους από τις κορυφές.

Έστω ένα περιγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$, όπου ο εγγεγραμμένος του κύκλος έχει κέντρο ${\displaystyle {\rm {I}}}$ και ${\displaystyle {\rm {I}}_{\alpha },{\rm {I}}_{\beta },{\rm {I}}_{\gamma },{\rm {I}}_{\delta }}$ είναι τα σημεία επαφής του με τις πλευρές του τετραπλεύρου.

Τότε από την παραπάνω ιδιότητα για τα σημεία ${\displaystyle {\rm {A,B,\Gamma ,\Delta }}}$ έχουμε ότι

${\displaystyle {\rm {AI_{\delta }}}={\rm {AI_{\alpha }}}=w}$, ${\displaystyle {\rm {BI_{\alpha }}}={\rm {BI_{\beta }}}=x}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma I_{\beta }}}={\rm {\Gamma I_{\gamma }}}=y}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta I_{\gamma }}}={\rm {\Delta I_{\delta }}}=z}$.

Επομένως,

${\displaystyle {\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}=(w+x)+(y+z)=\tau }$,

και

${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Delta A}}=(x+y)+(z+w)=\tau }$.

Καταλήγουμε στο ζητούμενο ότι ${\displaystyle {\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {B\Gamma }}+{\rm {\Delta A}}}$.

Αντίστροφο

Αν σε ένα τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ ισχύει ότι ${\displaystyle {\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {B\Gamma }}+{\rm {A\Delta }}}$, τότε το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο.

Γενικεύσεις

Σε παρεγεγραμμένα τετράπλευρα

Ισχύει ότι ${\displaystyle {\rm {AB}}+{\rm {B\Gamma }}={\rm {\Gamma \Delta }}+{\rm {A\Delta }}}$.

Σε ένα παρεγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ όπως στο πλαϊνό σχήμα, ισχύει ότι

${\displaystyle {\rm {AB}}+{\rm {B\Gamma }}={\rm {\Gamma \Delta }}+{\rm {A\Delta }}}$.

Απόδειξη  

Παρόμοια με το περιγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε ότι

${\displaystyle {\rm {AI_{\delta }}}={\rm {AI_{\alpha }}}=w}$, ${\displaystyle {\rm {BI_{\alpha }}}={\rm {BI_{\beta }}}=x}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma I_{\beta }}}={\rm {\Gamma I_{\gamma }}}=y}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta I_{\gamma }}}={\rm {\Delta I_{\delta }}}=z}$.

Επομένως,

${\displaystyle {\rm {AB}}+{\rm {B\Gamma }}=(w-x)+(x+y)=w+y}$,

και

${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}+{\rm {A\Delta }}=(y+z)+(w-z)=w+y}$.

Έτσι, καταλήγουμε στο ζητούμενο.

Σε περιγεγραμμένα πολύγωνα

Το θεώρημα Πιτό για πολύγωνα λέει ότι το άθροισμα των μηκών των πράσινων πλευρών είναι ίσο με αυτό των μπλε.

Σε ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο με ${\displaystyle 2n}$ πλευρές, ισχύει ότι το άθροισμα των περιττών πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των άρτιων πλευρών. Πιο συγκεκριμένα, στο πολύγωνο ${\displaystyle {\rm {P}}_{1},{\rm {P}}_{2},\ldots ,{\rm {P}}_{2n}}$ ισχύει ότι

${\displaystyle {\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}+{\rm {P}}_{3}{\rm {P}}_{4}+\ldots +{\rm {P}}_{2n-1}{\rm {P}}_{2n}={\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{3}+{\rm {P}}_{4}{\rm {P}}_{5}+\ldots +{\rm {P}}_{2n}{\rm {P}}_{1}=\tau }$,

όπου ${\displaystyle \tau }$ η ημιπερίμετρος του πολυγώνου.

Απόδειξη  

Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή για το τετράπλευρο. Θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του πολυγώνου με κέντρο ${\displaystyle {\rm {I}}}$ και τα σημεία επαφής ${\displaystyle {\rm {I}}_{1},\ldots ,{\rm {I}}_{n}}$ με τις πλευρές του. Τότε, έχουμε

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {P}}_{1}{\rm {I}}_{n}&={\rm {P}}_{1}{\rm {I}}_{1}=x_{1},\\{\rm {P}}_{2}{\rm {I}}_{1}&={\rm {P}}_{2}{\rm {I}}_{2}=x_{2},\\&\ \ \vdots \\{\rm {P}}_{2n}{\rm {I}}_{2n-1}&={\rm {P}}_{2n}{\rm {I}}_{2n}=x_{2n}.\end{aligned}}}$

Επομένως,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}+{\rm {P}}_{3}{\rm {P}}_{4}+\ldots +{\rm {P}}_{2n-1}{\rm {P}}_{2n}\\&\quad =({\rm {P}}_{1}{\rm {I}}_{1}+{\rm {I}}_{1}{\rm {P}}_{2})+\ldots +({\rm {P}}_{2n-1}{\rm {I}}_{2n}+{\rm {I}}_{2n}{\rm {P}}_{2n})\\&\quad =(x_{1}+x_{2})+\ldots +(x_{2n-1}+x_{2n})\\&\quad =x_{1}+\ldots +x_{2n}=\tau ,\\\end{aligned}}}$

και

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{3}+{\rm {P}}_{4}{\rm {P}}_{5}+\ldots +{\rm {P}}_{2n}{\rm {P}}_{1}\\&\quad =({\rm {P}}_{2}{\rm {I}}_{2}+{\rm {I}}_{2}{\rm {P}}_{3})+\ldots +({\rm {P}}_{2n}{\rm {I}}_{2n}+{\rm {I}}_{2n}{\rm {P}}_{1})\\&\quad =(x_{2}+x_{3})+\ldots (x_{2n}+x_{1})\\&\quad =x_{1}+\ldots +x_{2n}=\tau .\\\end{aligned}}}$

Καταλήγουμε ότι τα δύο αθροίσματα είναι ίσα.

Στερεομετρία

Το θεώρημα Πιτό γενικεύεται και για τετράεδρα.^[3]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για περιγεγραμμένα και παρεγεγραμμένα τετράπλευρα στο Geogebra
• Διαδραστική εφαρμογή στο Geogebra
• Το θεώρημα Πιτό στο cut-the-knot.

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένο τετράπλευρο

Παραπομπές

1. Humbert, P. (1953). «L'œuvre mathématique d'Henri Pitot.». Revue d'histoire des sciences (6-4): 322-328.
2. Pitot, Henri (1725). «Propriétés élémentaires des polygones circonscrits autour du cercle». Histoire de l'Académie royale des sciences avec les mémoires de mathématique et de physique tirés des registres de cette Académie: 45-47. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35266.image.f211.pagination.langFR.
3. Durrande, J. B. (1815). «Questions résolues. Démonstration du théorème de géométrie énoncé à la page 384 du V.e volume de ce recueil». Annales de Mathématiques pures et appliquées 6: 49-54. http://www.numdam.org/item/AMPA_1815-1816__6__49_0.pdf.
4. Sauvé, Léo (1976). «On circumscribable quadrilaterals». Crux 2 (4): 63-67. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/Crux_v2n04_Apr.pdf.
5. Josefsson, Martin (Ιουλίου 2019). «103.23 On Pitot’s theorem». The Mathematical Gazette 103 (557): 333–337. doi:10.1017/mag.2019.70.