Διασπορά (κυματική)

Η σχέση που περιγράφει την διάδοση ενός αρμονικού κύματος σε μία διάσταση είναι:

${\displaystyle \Psi (x,t)=\Psi _{0}\sin(\omega {t}-kx)}$

όπου η κυκλική συχνότητα ${\displaystyle \omega }$ είναι χαρακτηριστική της πηγής του κύματος και το κυματάνυσμα ${\displaystyle k}$ είναι χαρακτηριστικό του μηχανικού μέσου στο οποίο το κύμα διαδίδεται. Η ταχύτητα ενός τέτοιου κύματος στο ελαστικό μέσο είναι:

${\displaystyle c={\frac {\omega }{k}}\,\Rightarrow \,\omega (k)=ck}$

όπου ${\displaystyle c}$ είναι αυτό που λέμε φασική ταχύτητα ${\displaystyle v_{p}}$.

Εκτελώντας όμως ακριβέστερους υπολογισμούς διαπιστώνουμε πως η παραπάνω σχέση ισχύει προσεγγιστικά. Για παράδειγμα, για τα επιφανειακά κύματα στη θάλασσα η σχέση διασποράς υπολογίζεται ως:

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\tanh(kh)}$

όπου ${\displaystyle g}$ η επιτάχυνση βαρύτητας και ${\displaystyle h}$ το βάθος του ωκεανού. Η σχέση αυτή, για πολύ ρηχά νερά ή/και για υψηλής συχνότητας ταλαντώσεις γίνεται:

${\displaystyle \omega ^{2}\,\approx \,ghk^{2}\,\Rightarrow \,\omega \approx {\sqrt {gh}}\,k\,\Rightarrow \,c\approx {\sqrt {gh}}}$

Όταν κύματα με ελαφρά διαφορετική συχνότητα, όπως αυτά που παράγονται με φυσικό τρόπο από τον άνεμο στην επιφάνεια της θάλασσας, ταξιδεύουν στο ίδιο ελαστικό μέσο, τότε σχηματίζονται διακροτήματα. Η ταχύτητα διάδοσης αυτών των σχηματισμών είναι διαφορετική. Ορίζοντας την ομαδική ταχύτητα^[1] ως ${\displaystyle v_{g}=d\omega /dk}$, βλέπουμε πως η ταχύτητα διάδοσης διακροτημάτων γίνεται διαφορετική στο ίδιο ελαστικό μέσο.

Η διαφορά της ταχύτητας οδηγεί σε μια διασπορά της ενέργειας του αρχικού κύματος, γι' αυτό και το φαινόμενο ονομάζεται διασπορά. Η σχέση κυκλικής συχνότητας και κυματατανύσματος ονομάζεται «σχέση διασποράς».

Παραπομπές

1. Reynolds, O. (1877), «On the rate of progression of groups of waves and the rate at which energy is transmitted by waves», Nature 16: 343–44, doi:10.1038/016341c0