Διακριτή ομοιόμορφη κατανομή

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η διακριτή ομοιόμορφη κατανομή ${\displaystyle {\mathcal {U}}\{a,b\}}$ είναι μία διακριτή συνάρτηση κατανομής που περιγράφει το αποτέλεσμα της ομοιόμορφης δειγματοληψίας ενός τυχαίου αριθμού από το σύνολο ${\displaystyle \{a,a+1,\ldots ,b\}}$.^[1][2][3]

Παραδείγματα ομοιόμορφης διακριτής κατανομής.

Παραδείγματα αθροιστικής κατανομής.

Διακριτή Ομοιόμορφη Κατανομή

Συμβολισμός	${\displaystyle {\mathsf {U}}\{a,b\}}$
Παράμετροι	${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ με ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle n=b-a+1}$
Φορέας	${\displaystyle x\in \{a,a+1,\ldots ,b\}}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$
Μέσος	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Διάμεσος	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Διακύμανση	${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}}$
Λοξότητα	${\displaystyle 0}$
Κύρτωση	${\displaystyle -{\frac {6\cdot (n^{2}+1)}{5\cdot (n^{2}-1)}}-3}$
Εντροπία	${\displaystyle \log _{2}n}$
Πιθανογεννήτρια	${\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {t^{b}-t^{a}}{t-1}}}$
Χαρακτηριστική	${\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{e^{t}-1}}}$

Για παράδειγμα, η ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού μοντελοποιείται ως ${\displaystyle {\mathcal {U}}\{1,6\}}$, δηλαδή κάθε ένα από αποτελέσματα ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ έχουν ίση πιθανότητα (${\displaystyle 1/6}$) να βγουν. Αντίστοιχα, το στρίψιμο ενός νομίσματος μπορεί να μοντελοποιηθεί από την ${\displaystyle {\mathcal {U}}\{0,1\}}$ και ο νικητήριος αριθμός του λαχνού.

Ορισμός

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της ${\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}\{a,b\}}$, δίνεται από την

${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{αν }}a\leq x\leq b,\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}}$

Μέση τιμή

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]=\sum _{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot x&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {b\cdot (b+1)}{2}}-{\frac {a\cdot (a-1)}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {b^{2}-a^{2}+b+a}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {(b-a)\cdot (b+a+1)}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {(b-a+1)\cdot (b+a)}{2}}\right)\\&={\frac {(b+a)}{2}},\end{aligned}}}$

χρησιμοποιώντας ότι ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {1}{2}}n\cdot (n+1)}$.

Διακύμανση

Για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης, θα υπολογίσουμε την διακύμανση για την μεταβλητή ${\displaystyle Y=X-a+1}$ και θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα,

${\displaystyle \operatorname {V} [Y]=\operatorname {V} [X-a+1]=\operatorname {V} [X],}$

και τον ορισμό

${\displaystyle \operatorname {V} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-(\operatorname {E} [Y])^{2}.}$

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι:

${\displaystyle \operatorname {E} [Y^{2}]=\sum _{y=1}^{n}{\frac {1}{n}}\cdot y^{2}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{6}}n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)={\frac {1}{6}}(n+1)\cdot (2n+1),}$

χρησιμοποιώντας ότι ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {1}{6}}n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}$. Επομένως,

${\displaystyle \operatorname {V} [Y]={\frac {1}{6}}(n+1)\cdot (2n+1)-{\frac {1}{4}}(n+1)^{2}={\frac {n+1}{2}}\cdot {\frac {n-1}{4}}={\frac {n^{2}-1}{12}}.}$

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Για ${\displaystyle t\neq 1}$, έχουμε ότι:

${\displaystyle \operatorname {E} [t^{X}]=\sum _{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot t^{x}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {t^{b}-t^{a}}{t-1}},}$

χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου.

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Για ${\displaystyle t\neq 0}$, έχουμε ότι:

${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tx}]=\sum _{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot e^{tx}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{e^{t}-1}},}$

χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου.

Εντροπία

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

${\displaystyle \operatorname {E} [-\log _{2}X]=\sum _{x=a}^{b}-{\frac {1}{n}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{n}}\right)=-n\cdot {\frac {1}{n}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{n}}\right)=\log _{2}n.}$

Αυτή η κατανομή μεγιστοποιεί την εντροπία σε σχέση με όλες τις διακριτές κατανομές σε ${\displaystyle n}$ στοιχεία.

Δείτε επίσης

• Κατανομή Μπερνούλλι — Ειδική περίπτωση της διακριτής ομοιόμορφης κατανομής με δύο στοιχεία
• Ομοιόμορφη κατανομή (συνεχής) — Συνεχής εκδοχή της ομοιόμορφης κατανομής