EL
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Δευτεροβάθμια εξίσωση

πολυωνυμική εξίσωση μίας μεταβλητής όπου ο μεγαλύτερος εκθέτης της μεταβλητής είναι 2 From Wikipedia, the free encyclopedia

Διακρίνουσα
•
•
•
•
•
Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνουΟι τύποι του ΒιετάΔείτε επίσηςΠεραιτέρω ανάγνωσηΕξωτερικοί σύνδεσμοιΕλληνικά άρθραΠαραπομπές

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση (ή τετραγωνική εξίσωση ή εξίσωση δεύτερου βαθμού) ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση με βαθμό δύο. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

α x 2 + β x + γ = 0 , {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,} {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,}
 Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν.

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} {\displaystyle \alpha \neq 0}.

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x2, το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση α x 2 + β x + γ = 0 {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad } {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad } στη μορφή ( a x + b ) 2 = c {\displaystyle (ax+b)^{2}=c} {\displaystyle (ax+b)^{2}=c} ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.


Αρχικά εξετάζουμε τους όρους με x2 και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ:

α x 2 + β x + γ = 0 ⟺ α ( x 2 + β α x ) = − γ ( 1 ) {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)=-\gamma \qquad (1)} {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)=-\gamma \qquad (1)}

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

( 1 ) ⟺ α ( x 2 + 2 β 2 α x + β 2 4 α 2 − β 2 4 α 2 ) = − γ ⟺ α ( x + β 2 α ) 2 − α ( β 2 4 α 2 ) = − γ ( 2 ) {\displaystyle (1)\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+2{\frac {\beta }{2\alpha }}x+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}-\,\alpha \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \qquad (2)} {\displaystyle (1)\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+2{\frac {\beta }{2\alpha }}x+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}-\,\alpha \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \qquad (2)}

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:

( 2 ) ⟺ α ( x + β 2 α ) 2 = β 2 4 α − γ ⟺ α ( x + β 2 α ) 2 = β 2 − 4 α γ 4 α ( 3 ) {\displaystyle (2)\quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }{4\alpha }}\qquad (3)} {\displaystyle (2)\quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }{4\alpha }}\qquad (3)}

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:

( 3 ) ⟺ ( 2 α ) 2 ( x + β 2 α ) 2 = β 2 − 4 α γ ⟺ ( 2 α x + β ) 2 = β 2 − 4 α γ ( 4 ) {\displaystyle (3)\quad \iff \quad (2\alpha )^{2}\left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (4)} {\displaystyle (3)\quad \iff \quad (2\alpha )^{2}\left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (4)}


Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα: Δ = β 2 − 4 α γ ( 5 ) {\displaystyle \Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (5)} {\displaystyle \Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (5)}


Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

( 4 ) , ( 5 ) ⟺ ( 2 α x + β ) 2 = Δ ( 6 ) {\displaystyle (4),(5)\quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\Delta \qquad (6)} {\displaystyle (4),(5)\quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\Delta \qquad (6)}

Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:

( 6 ) ⟺ 2 α x + β = ± Δ ⟺ x = − β ± Δ 2 α ( 7 ) {\displaystyle (6)\quad \iff \quad 2\alpha x+\beta =\pm {\sqrt {\Delta }}\quad \iff \quad x={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}\qquad (7)} {\displaystyle (6)\quad \iff \quad 2\alpha x+\beta =\pm {\sqrt {\Delta }}\quad \iff \quad x={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}\qquad (7)}


Από την ( 7 ) {\displaystyle (7)} {\displaystyle (7)} προκύπτει ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το + Δ {\displaystyle +{\sqrt {\Delta }}} {\displaystyle +{\sqrt {\Delta }}} και μία που περιέχει το − Δ . {\displaystyle -{\sqrt {\Delta }}.} {\displaystyle -{\sqrt {\Delta }}.} Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας Δ , {\displaystyle \Delta ,} {\displaystyle \Delta ,} διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

  • Αν Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} {\displaystyle \Delta >0}, τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:
x + = − β + Δ 2 α {\displaystyle x_{+}={\frac {-\beta +{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}} {\displaystyle x_{+}={\frac {-\beta +{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}}
x − = − β − Δ 2 α {\displaystyle x_{-}={\frac {-\beta -{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}} {\displaystyle x_{-}={\frac {-\beta -{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}}
  • Αν Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} {\displaystyle \Delta =0}, τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:
x ± = − β 2 α {\displaystyle x_{\pm }={\frac {-\beta }{2\alpha }}} {\displaystyle x_{\pm }={\frac {-\beta }{2\alpha }}}
  • Αν Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} {\displaystyle \Delta <0}, τότε η διακρίνουσα μπορεί να γραφεί ως Δ = i 2 | Δ | {\displaystyle \Delta =i^{2}|\Delta |} {\displaystyle \Delta =i^{2}|\Delta |}, όπου i {\displaystyle i} {\displaystyle i} η φανταστική μονάδα με i 2 := − 1 {\displaystyle i^{2}:=-1} {\displaystyle i^{2}:=-1} και | Δ | {\displaystyle |\Delta |} {\displaystyle |\Delta |} η απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επομένως ορίζεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σε αυτή τη περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:
x + = − β + i | Δ | 2 α {\displaystyle x_{+}={\frac {-\beta +i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}} {\displaystyle x_{+}={\frac {-\beta +i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}}
x − = − β − i | Δ | 2 α {\displaystyle x_{-}={\frac {-\beta -i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}} {\displaystyle x_{-}={\frac {-\beta -i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}}


Από τα παραπάνω συνάγεται ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει Δ ≥ 0 {\displaystyle \Delta \geq 0} {\displaystyle \Delta \geq 0}, επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα Δ {\displaystyle \Delta } {\displaystyle \Delta } (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.

Οι τύποι του Βιετά

Οι τύποι του Βιετά[1] δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

x + + x − = − β α {\textstyle x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}} {\textstyle x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}}

και

x + ⋅ x − = γ α {\displaystyle x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}} {\displaystyle x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}}

Αν συμβολίσουμε με S {\displaystyle S} {\displaystyle S} το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με P {\displaystyle P} {\displaystyle P} το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

x 2 − S x + P = 0   {\displaystyle x^{2}-Sx+P=0\ } {\displaystyle x^{2}-Sx+P=0\ }

όπου

S = x + + x − = − β α {\displaystyle S=x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}} {\displaystyle S=x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}}

και

P = x + ⋅ x − = γ α {\displaystyle P=x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}} {\displaystyle P=x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}}

Δείτε επίσης

  • Τριώνυμο
  • Παραβολή (γεωμετρία)
  • Εξίσωση

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

  • Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Quadratic equation στο Wikimedia Commons
  • Διαδραστική εφαρμογή για την λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού από το γράφημα
  • Διαδραστική εφαρμογή για την αραβική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού
  • Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού

Ελληνικά άρθρα

  • Κωστοπούλου, Καλλιόπη; Καρκαζής, Γιάννης (Οκτώβριος 2020). «Στιγμιότυπα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: από τη Βαβυλώνα στη σύγχρονη εποχή». Ευκλείδης Α΄ (118): 20-26. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_118_EYKLEIDHS_2020.pdf.

Παραπομπές

  1. [1]
    Ανδρεαδάκης κ.α., Σ. (1991). Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 90.
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.