Δευτεροβάθμια εξίσωση

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση (ή τετραγωνική εξίσωση ή εξίσωση δεύτερου βαθμού) ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση με βαθμό δύο. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

${\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,}$

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

${\displaystyle \alpha \neq 0}$.

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x², το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση ${\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad }$ στη μορφή ${\displaystyle (ax+b)^{2}=c}$ ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.

Αρχικά εξετάζουμε τους όρους με x² και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ:

${\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)=-\gamma \qquad (1)}$

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

${\displaystyle (1)\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+2{\frac {\beta }{2\alpha }}x+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}-\,\alpha \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \qquad (2)}$

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:

${\displaystyle (2)\quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }{4\alpha }}\qquad (3)}$

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:

${\displaystyle (3)\quad \iff \quad (2\alpha )^{2}\left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (4)}$

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα: ${\displaystyle \Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (5)}$

Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

${\displaystyle (4),(5)\quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\Delta \qquad (6)}$

Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:

${\displaystyle (6)\quad \iff \quad 2\alpha x+\beta =\pm {\sqrt {\Delta }}\quad \iff \quad x={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}\qquad (7)}$

Από την ${\displaystyle (7)}$ προκύπτει ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το ${\displaystyle +{\sqrt {\Delta }}}$ και μία που περιέχει το ${\displaystyle -{\sqrt {\Delta }}.}$ Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας ${\displaystyle \Delta ,}$ διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

• Αν ${\displaystyle \Delta >0}$, τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:

${\displaystyle x_{+}={\frac {-\beta +{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}}$

${\displaystyle x_{-}={\frac {-\beta -{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}}$

• Αν ${\displaystyle \Delta =0}$, τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:

${\displaystyle x_{\pm }={\frac {-\beta }{2\alpha }}}$

• Αν ${\displaystyle \Delta <0}$, τότε η διακρίνουσα μπορεί να γραφεί ως ${\displaystyle \Delta =i^{2}|\Delta |}$, όπου ${\displaystyle i}$ η φανταστική μονάδα με ${\displaystyle i^{2}:=-1}$ και ${\displaystyle |\Delta |}$ η απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επομένως ορίζεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σε αυτή τη περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:

${\displaystyle x_{+}={\frac {-\beta +i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}}$

${\displaystyle x_{-}={\frac {-\beta -i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}}$

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει ${\displaystyle \Delta \geq 0}$, επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα ${\displaystyle \Delta }$ (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.

Οι τύποι του Βιετά

Οι τύποι του Βιετά^[1] δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

${\textstyle x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}}$

και

${\displaystyle x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}}$

Αν συμβολίσουμε με ${\displaystyle S}$ το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με ${\displaystyle P}$ το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

${\displaystyle x^{2}-Sx+P=0\ }$

όπου

${\displaystyle S=x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}}$

και

${\displaystyle P=x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}}$

Δείτε επίσης

• Τριώνυμο
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Εξίσωση

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Quadratic equation στο Wikimedia Commons
• Διαδραστική εφαρμογή για την λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού από το γράφημα
• Διαδραστική εφαρμογή για την αραβική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού
• Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού

Ελληνικά άρθρα

• Κωστοπούλου, Καλλιόπη; Καρκαζής, Γιάννης (Οκτώβριος 2020). «Στιγμιότυπα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: από τη Βαβυλώνα στη σύγχρονη εποχή». Ευκλείδης Α΄ (118): 20-26. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_118_EYKLEIDHS_2020.pdf.

Παραπομπές

1. Ανδρεαδάκης κ.α., Σ. (1991). Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 90.