Διάγραμμα διακλάδωσης

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στα δυναμικά συστήματα, ένα διάγραμμα διακλάδωσης^[1] δείχνει τις πιθανές μακροπρόθεσμες τιμές ενός συστήματος ως συνάρτηση μιας παραμέτρου διακλάδωσης του συστήματος. Είναι σύνηθες να αναπαριστούμε τις σταθερές λύσεις με συμπαγείς γραμμές και τις ασταθείς λύσεις με διακεκομμένες.

Διακλαδώσεις στη Λογιστική Απεικόνιση

Bifurcation diagram of the logistic map

Ένα παράδειγμα αποτελεί το διάγραμμα διακλάδωσης της λογιστικής απεικόνισης:^[2][3]

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}).\,}$

Η παράμετρος διακλάδωσης r είναι στον οριζόντιο άξονα του γραφήματος, ενώ ο κάθετος άξονας δείχνει τις πιθανές τιμές της λογιστικής συνάρτησης. Μόνο οι σταθερές λύσεις εμφανίζονται εδώ, ενώ υπάρχουν ακόμη πολλές άλλες ασταθείς λύσεις.

Το διάγραμμα διακλάδωσης δείχνει τον χωρισμό των πιθανών περιόδων των σταθερών τροχιών από 1 σε 2 σε 4 σε 8 κλπ. Κάθε ένα από αυτά τα σημεία διακλάδωσης αποτελεί μια διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου. Το ποσοστό των μηκών των συνεχόμενων καμπυλών ανάμεσα σε τιμές του r για τις οποίες συμβαίνει η διακλάδωση, συγκλίνει στη σταθερά του Φάιγκενμπαουμ.

Σπάσιμο συμμετρίας σε σύνολα διακλαδώσεων

Η συμμετρία σπάει στη pitchfork διακλάδωση καθώς η παράμετρος ε παίρνει διάφορες τιμές.

Σε ένα δυναμικό σύστημα όπως το^[4]

${\displaystyle {\ddot {x}}+f(x;\mu )+\epsilon g(x)=0}$,

το οποίο είναι δομικά σταθερό όταν ${\displaystyle \mu \neq 0}$, εάν σχεδιαστεί ένα διάγραμμα διακλάδωσης, με το ${\displaystyle \mu }$ να είναι η παράμετρος διακλάδωσης, αλλά για διαφορετικές τιμές του ${\displaystyle \epsilon }$, η περίπτωση ${\displaystyle \epsilon =0}$ αντιστοιχεί σε συμμετρική pitchfork διακλάδωση. Όταν ${\displaystyle \epsilon \neq 0}$, λέμε ότι έχουμε ένα pitchfork με σπασμένη συμμετρία. Τα παραπάνω παρουσιάζονται στη δεξιά εικόνα.

Δείτε επίσης

• Θεωρία διακλαδώσεων

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Η Λογιστική Απεικόνιση και Χάος (Αγγλικά)

Παραπομπές

1. «Bifurcation Diagram - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 28 Αυγούστου 2023.
2. John (11 Ιανουαρίου 2020). «Logistic bifurcation diagram in detail». www.johndcook.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Αυγούστου 2023.
3. May, Robert M. (1976-06). «Simple mathematical models with very complicated dynamics» (στα αγγλικά). Nature 261 (5560): 459–467. doi:10.1038/261459a0. ISSN 1476-4687. https://www.nature.com/articles/261459a0.
4. «Logistic bifurcation diagram in detail» (PDF).