Βελτιστοποίηση

Ο χώρος της βελτιστοποίησης στα εφαρμοσμένα μαθηματικά αναφέρεται στην αναζήτηση βέλτιστων παραμέτρων ενός - συνήθως περίπλοκου - συστήματος. Προβλήματα βελτιστοποίησης απαντώνται σε πολλά επιστημονικά πεδία όπως π.χ. στη φυσική, στη χημεία, στην οικονομία κ.α..

Γραφική παράσταση μιας επιφάνειας που δίνεται από τη σχέση z = f(x, y) = −(x² + y²) + 4. Το συνολικό μέγιστο στο (x, y, z) = (0, 0, 4) υποδεικνύεται με μπλε κουκκίδα.

Αναζήτηση του ελαχίστου Nelder-Mead για τη συνάρτηση Σιμιονέσκου. Οι κορυφές του simplex κατατάσσονται ανάλογα με την τιμή τους, με το 1 να είναι η χαμηλότερη τιμή (${\displaystyle f(x)}$ best) value.

Στα μαθηματικά διατυπώνεται ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σαν πρόβλημα ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής ή πολλών μεταβλητών. Ενώ στην ελαχιστοποίηση (ή μεγιστοποίηση) συναρτήσεων μίας μεταβλητής μπορούν να χρησιμοποιηθούν αναλυτικές και αλγεβρικές μέθοδοι για τον ακριβή ορισμό ελάχιστων (ή μέγιστων), στη μελέτη συναρτήσεων πολλών μεταβλητών χρησιμοποιούνται κυρίως αριθμητικές μέθοδοι για έναν προσεγγιστικό ορισμό ελάχιστων (ή μέγιστων) σημείων.

Βελτιστοποίηση υπό συνθήκη

Σε πολλά προβλήματα βελτιστοποίησης τίθενται επιπλέον περιορισμοί (constraints) τους οποίους οι λύσεις πρέπει να ικανοποιούν. Οι περιορισμοί ή συνθήκες αυτές συνήθως είναι ανισότητες.

Εφαρμογές

Μηχανική

Τα προβλήματα που σχετίζονται με τη δυναμική των άκαμπτων σωμάτων (ιδίως η δυναμική των αρθρωτών άκαμπτων σωμάτων) συχνά περιλαμβάνουν τεχνικές μαθηματικού προγραμματισμού, καθώς η δυναμική των άκαμπτων σωμάτων μπορεί να θεωρηθεί ότι προσπαθεί να λύσει μια συνήθη διαφορική εξίσωση σε μια πολλαπλότητα περιορισμών^[1]- οι περιορισμοί είναι διάφοροι μη γραμμικοί γεωμετρικοί περιορισμοί, όπως "αυτά τα δύο σημεία πρέπει πάντα να συμπίπτουν", "αυτή η επιφάνεια δεν πρέπει να διαπερνά καμία άλλη" ή "αυτό το σημείο πρέπει πάντα να βρίσκεται κάπου πάνω σε αυτή την καμπύλη". Ομοίως, οι δυνάμεις επαφής μπορούν να υπολογιστούν με την επίλυση ενός γραμμικού προβλήματος συμπληρωματικότητας, το οποίο μπορεί επίσης να θεωρηθεί πρόβλημα τετραγωνικού προγραμματισμού (QP).

Πολλά προβλήματα σχεδιασμού μπορούν επίσης να εκφράζονται ως προγράμματα βελτιστοποίησης. Αυτή η εφαρμογή ονομάζεται βελτιστοποίηση σχεδιασμού. Ένα υποσύνολο είναι η βελτιστοποίηση μηχανικής, και ένα άλλο πρόσφατο και αυξανόμενο υποσύνολο αυτού του τομέα είναι η διεπιστημονική βελτιστοποίηση σχεδιασμού, η οποία, αν και χρήσιμη για πολλά προβλήματα, έχει εφαρμοστεί ιδιαίτερα σε προβλήματα αεροδιαστημικής μηχανικής.

Η προσέγγιση αυτή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί στην κοσμολογία και στην αστροφυσική ^[2].

Οικονομικά και χρηματοοικονομικά

Τα οικονομικά συνδέονται επαρκώς με τη βελτιστοποίηση των παραγόντων, ώστε ένας σημαίνων ορισμός να περιγράφει τα οικονομικά ως επιστήμη ως "τη μελέτη της ανθρώπινης συμπεριφοράς ως σχέσης μεταξύ πεπερασμένων σκοπών και μέσων", με άλλες χρήσεις^[3] . Η σύγχρονη θεωρία βελτιστοποίησης περιλαμβάνει την παραδοσιακή θεωρία βελτιστοποίησης, αλλά και επικαλύψεις με τη θεωρία παιγνίων και τη μελέτη των οικονομικών ισορροπιών. Το The Journal of Economic Literature κωδικοποιεί τον μαθηματικό προγραμματισμό, τις τεχνικές βελτιστοποίησης και τα συναφή θέματα ως JEL:C61-C63.

Στη μικροοικονομική, το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας και το δίδυμό του, το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της δαπάνης, είναι προβλήματα οικονομικής βελτιστοποίησης. Στο βαθμό που συμπεριφέρονται με συνέπεια, οι καταναλωτές υποτίθεται ότι μεγιστοποιούν τη χρησιμότητά τους, ενώ οι επιχειρήσεις υποτίθεται γενικά ότι μεγιστοποιούν το κέρδος τους. Επιπλέον, οι παράγοντες συχνά μοντελοποιούνται ως αποστρεφόμενοι τον κίνδυνο, προτιμώντας να αποφεύγουν τον κίνδυνο. Οι τιμές των περιουσιακών στοιχείων μοντελοποιούνται επίσης με τη χρήση της θεωρίας βελτιστοποίησης, αν και τα υποκείμενα μαθηματικά βασίζονται στη βελτιστοποίηση στοχαστικών διαδικασιών και όχι στη στατική βελτιστοποίηση. Η θεωρία του διεθνούς εμπορίου χρησιμοποιεί επίσης τη βελτιστοποίηση για να εξηγήσει τα εμπορικά πρότυπα μεταξύ των εθνών. Η βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου είναι ένα παράδειγμα βελτιστοποίησης πολλαπλών στόχων στα οικονομικά.

Από τη δεκαετία του 1970, οι οικονομολόγοι μοντελοποιούν χρονικά δυναμικές αποφάσεις χρησιμοποιώντας τη θεωρία ελέγχου^[4]. Για παράδειγμα, τα δυναμικά μοντέλα αναζήτησης χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της συμπεριφοράς της αγοράς εργασίας ^[5]. Κρίσιμη διάκριση γίνεται μεταξύ ντετερμινιστικών και στοχαστικών μοντέλων^[6]. Οι μακροοικονομολόγοι κατασκευάζουν δυναμικά στοχαστικά υποδείγματα γενικής ισορροπίας (DSGE) που περιγράφουν τη δυναμική της οικονομίας στο σύνολό της ως αποτέλεσμα των αλληλοεξαρτώμενων αποφάσεων βελτιστοποίησης των εργαζομένων, των καταναλωτών, των επενδυτών και των κυβερνήσεων^[7][8].

Ηλεκτρολογική μηχανική

Οι συνήθεις εφαρμογές των τεχνικών βελτιστοποίησης στην ηλεκτρολογική μηχανική περιλαμβάνουν το σχεδιασμό ενεργών φίλτρων^[9], τη μείωση των αδέσποτων πεδίων σε συστήματα υπεραγώγιμης μαγνητικής αποθήκευσης ενέργειας, το σχεδιασμό χωρικής χαρτογράφησης δομών μικροκυμάτων^[10], κεραιών κινητής τηλεφωνίας^[11][12][13], σχεδιασμό με βάση τον ηλεκτρομαγνητισμό. Η ηλεκτρομαγνητικά επικυρωμένη βελτιστοποίηση σχεδιασμού μικροκυματικών στοιχείων και κεραιών κάνει εκτεταμένη χρήση κατάλληλων φυσικών ή εμπειρικών υποκατάστατων μοντέλων και μεθοδολογιών χωρικής χαρτογράφησης από την ανακάλυψη της χωρικής χαρτογράφησης το 1993^[14][15] . Οι τεχνικές βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται επίσης στην ανάλυση ροής ισχύος^[16].

Πολιτικοί μηχανικοί

Η βελτιστοποίηση χρησιμοποιήθηκε ευρέως στον τομέα της πολιτικής μηχανικής. Η διαχείριση κατασκευών και η μηχανική μεταφορών είναι από τους κύριους κλάδους της πολιτικής μηχανικής που βασίζονται σε μεγάλο βαθμό στη βελτιστοποίηση. Τα πιο συνηθισμένα προβλήματα πολιτικού μηχανικού που επιλύονται με βελτιστοποίηση είναι η διαμόρφωση και η επίχωση δρόμων, η ανάλυση του κύκλου ζωής των κατασκευών και των υποδομών^[17], η ισοπέδωση πόρων^[18][19], η κατανομή υδάτινων πόρων, η διαχείριση της κυκλοφορίας^[20]και η βελτιστοποίηση του χρονοδιαγράμματος.

Επιχειρησιακή έρευνα

Η επιχειρησιακή έρευνα είναι ένας άλλος τομέας που κάνει εκτεταμένη χρήση τεχνικών βελτιστοποίησης^[21] και χρησιμοποιεί επίσης στοχαστική μοντελοποίηση και προσομοίωση για τη βελτίωση της λήψης αποφάσεων. Η επιχειρησιακή έρευνα χρησιμοποιεί όλο και περισσότερο τον στοχαστικό προγραμματισμό για τη μοντελοποίηση δυναμικών αποφάσεων που προσαρμόζονται σε γεγονότα- τα προβλήματα αυτά μπορούν να επιλυθούν με τη χρήση μεθόδων βελτιστοποίησης μεγάλης κλίμακας και στοχαστικής βελτιστοποίησης.

Μηχανική ελέγχου

Η μαθηματική βελτιστοποίηση χρησιμοποιείται σε μεγάλο μέρος του σχεδιασμού των σύγχρονων ελεγκτών. Οι ελεγκτές υψηλού επιπέδου, όπως ο έλεγχος πρόβλεψης μοντέλου (MPC) ή η βελτιστοποίηση σε πραγματικό χρόνο (RTO), χρησιμοποιούν μαθηματική βελτιστοποίηση. Αυτοί οι αλγόριθμοι λειτουργούν on-line και καθορίζουν επανειλημμένα τις τιμές των μεταβλητών απόφασης, όπως τα ανοίγματα συμφόρησης σε μια μονάδα επεξεργασίας, επιλύοντας επαναληπτικά ένα μαθηματικό πρόβλημα βελτιστοποίησης που περιλαμβάνει περιορισμούς και ένα πρότυπο του προς έλεγχο συστήματος.

Γεωφυσική

Οι τεχνικές βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται τακτικά σε προβλήματα εκτίμησης γεωφυσικών παραμέτρων. Δεδομένου ενός συνόλου γεωφυσικών μετρήσεων, για παράδειγμα σεισμικών καταγραφών, είναι σύνηθες να επιλύονται οι φυσικές ιδιότητες και τα γεωμετρικά σχήματα των υποκείμενων πετρωμάτων και ρευστών. Η πλειονότητα των προβλημάτων στη γεωφυσική είναι μη γραμμικά και χρησιμοποιούνται ευρέως προσδιοριστικές και στοχαστικές μέθοδοι.

Μοριακή μοντελοποίηση

Οι μη γραμμικές μέθοδοι βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται ευρέως στην ανάλυση διαμόρφωσης.

Υπολογιστική συστημική βιολογία

Οι τεχνικές βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται σε πολλές πτυχές της βιολογίας υπολογιστικών συστημάτων, όπως η κατασκευή μοντέλων, ο βέλτιστος πειραματικός σχεδιασμός, η μεταβολική μηχανική και η συνθετική βιολογία^[22]. [Ο γραμμικός προγραμματισμός χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό των μέγιστων δυνατών αποδόσεων προϊόντων ζύμωσης^[22] και για την εξαγωγή συμπερασμάτων για γονιδιακά ρυθμιστικά δίκτυα από πολλαπλά σύνολα δεδομένων μικροσυστοιχιών^[23] καθώς και για μεταγραφικά ρυθμιστικά δίκτυα από δεδομένα υψηλής απόδοσης^[24]. Ο μη γραμμικός προγραμματισμός εφαρμόστηκε για την ανάλυση του ενεργειακού μεταβολισμού^[25] και έχει εφαρμοστεί στη μεταβολική μηχανική και στην εκτίμηση παραμέτρων σε βιοχημικά μονοπάτια^[26].

Μάθηση μέσω μηχανής

Δείτε το άρθρο: Μηχανική μάθηση