Αρνητική θερμοκρασία

Στη φυσική κάποια συστήματα μπορούν να έχουν αρνητικη θερμοκρασία, δηλαδή η θερμοδυναμική θερμοκρασία τους να εκφράζεται από μια αρνητική ποσότητα. Οι αρνητικές θερμοκρασίες εκφράζονται με αρνητικούς αριθμούς στην κλίμακα Κέλβιν.

Οι θερμοκρασίες που εκφράζονται με αρνητικές τιμές στις κλίμακες Κελσίου και Φαρενάιτ, απλά δηλώνουν ότι η εν λόγω θερμοκρασία είναι χαμηλότερη από το σημείο στο οποίο έχει οριστεί το μηδέν στις συγκεκριμένες κλίμακες. Κατά συνέπεια, κάποιος θα περίμενε πως οι αρνητικές θερμοκρασίες που αναφέρονται στην κλίμακα Κέλβιν, θα εκφράζουν χαμηλότερες ενεργειακα καταστάσεις από την πλήρη θερμική αδράνεια που εκφράζει το απόλυτο μηδέν. Όμως κάτι τέτοιο δεν ισχύει και αποκλείεται από τον ίδιο τον ορισμό του απολύτου μηδενός. Στην ουσία τα συστήματα που έχουν αρνητικη θερμοκρασία, είναι θερμότερα, δηλαδή αντιστοιχούν σε καταστάσεις υψηλότερης ενέργειας, από συστήματα των οποίων η θερμοκρασία αγγίζει το απόλυτο μηδέν.

Οι αρνητικες θερμοκρασίες μπορούν να υπάρξουν μόνο σε συστήματα των οποίων η συνολική ενέργεια δεν μπορεί να υπερβεί μια μέγιστη πεπερασμένη τιμή. Σε ένα τέτοιο σύστημα, καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται, τα σωματίδια μεταπίπτουν σε υψηλότερες ενεργειακα καταστάσεις^{[ασαφές]} και η θερμοκρασία τους ξεπερνά το άνω όριό της αλλά και το όριο που θέτει το +∞. Ο αριθμός των σωματιδίων που βρίσκονται σε χαμηλές ενεργειακα καταστάσεις εξισώνεται με αυτόν που εκφράζει τον αριθμό των σωματιδίων που βρίσκονται σε καταστάσεις ενεργειακα υψηλότερες. Με την αύξηση της ενέργειας σε αυτά τα συστήματα, είναι δυνατόν να υπάρξουν περισσότερα σωματίδια σε ενεργειακα υψηλότερη κατάσταση από αυτά στις χαμηλότερες στάθμες. Αυτή είναι η κατάσταση στην οποία υπάρχει η αρνητική θερμοκρασία. Μια ουσία με αρνητική θερμοκρασία δεν είναι ψυχρότερη από το απόλυτο μηδέν. Αντίθετα, έχει περισσότερη ενέργεια από την άπειρη θερμοκρασία για το σύστημα, όπως το θεωρούμε. Οι Kittel και Kroemer (σελ.462) το έθεσαν ως εξής: "Η θερμοκρασιακή κλίμακα από το ψυχρό προς το θερμό ακολουθεί την πορεία: +0 K, . . . , +300 K, . . . , +∞ K, −∞ K, . . . , −300 K, . . . , −0 K."

Γενικά, αν θεωρήσουμε όλες τις ιδιότητες για ένα σύστημα, θα διαπιστώσουμε πως δεν μπορεί να υπάρξει άνω όριο στην ενέργειά του. Η θερμοκρασία, ορίζεται από την κινητική ενέργεια των ατόμων στο σύστημα που μελετούμε. Επειδή όμως δεν μπορεί να υπάρξει άνω όριο στην ορμή ενός ατόμου, δεν μπορεί να υπάρξει και άνω όριο στις διαθέσιμες ενεργειακές στάθμες. Όμως, αν μια συγκεκριμένη ιδιότητα ενός συστήματος αλληλεπιδρά κατά πολύ ασθενή τρόπο με όλες τις άλλες ιδιότητές του, αυτή η ιδιότητα μπορεί να φτάσει σε μια εσωτερική ισορροπία χωρίς κατ'ανάγκη να βρίσκεται σε ισορροπία με τις άλλες ιδιότητες. Επομένως αν μελετούμε το σύστημα ως προς αυτήν του την ιδιότητα, μπορούμε να συνδέσουμε με αυτό μια αρνητική θερμοκρασία.

Η κατανομή της ενέργειας σε ένα σύστημα σύμφωνα με τις δυνατές καταστάσεις στην μεταφορική και περιστροφική κίνηση, στις ταλαντώσεις, στις περιστροφές, στις ηλεκτρονιακές κατανομές του και στην πυρηνική του δομή, καθορίζουν τη μακροσκοπική θερμοκρασία που το εκφράζει. Σε ένα σύστημα, η θερμική ενέργεια συνεχώς ανταλλάσσεται μεταξύ των διαφορετικών αυτών καταστάσεων.

Εντούτοις, σε μερικές περιπτώσεις, είναι δυνατόν να απομονώσουμε μερικούς από αυτούς τους τρόπους ανταλλαγής ενέργειας. Στην πράξη, οι απομονωμένες μορφές ανταλλάσσουν ενέργεια με τις άλλες, αλλά στην κλίμακα του χρόνου, η ανταλλαγή αυτή είναι πολύ αργή σε σχέση με την ανταλλαγή ενέργειας μεταξύ τους. Ένα παράδειγμα είναι αυτό της στροφορμής του πυρήνα κατά την εφαρμογή ισχυρού εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Σε αυτήν την περίπτωση η ενέργεια ρέει ταχύτατα μεταξύ των καταστάσεων ιδιοπεριστροφής των αλληλεπιδρόντων ατόμων, αλλά η μεταφορά ενέργειας μεταξύ των σπιν του πυρήνα και των άλλων τρόπων μεταφοράς ενέργειας είναι σχετικά αργή. Επειδή η ροή της ενέργειας εστιάζεται κυρίως στο σύστημα της ιδιοπεριστροφής, έχει περισσότερο νόημα να θεωρήσουμε μία θερμοκρασία για το σύστημα που εστιάζει στο σπιν η οποία είναι ξεχωριστή από τη θερμοκρασία που οφείλεται σε άλλες μεθόδους ανταλλαγής ενέργειας.

Ένας ορισμός της θερμοκρασίας μπορεί να βασιστεί στη σχέση:

{\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}

^{[ασαφές]}

Με S να δηλώνει την εντροπία και Ε την ενέργεια του συστήματος.

Η σχέση αυτή, υποδεικνύει ότι η θετική θερμοκρασία αντιστοιχεί σε μια κατάσταση στην οποία η εντροπία αυξάνεται καθώς αυξάνεται και η ενέργεια του συστήματος. Αυτή είναι η ισχύουσα κατάσταση στη μακροσκοπική θεώρηση του κόσμου. Αν ένα σύστημα όπως το θεωρήσουμε, έχει ένα άνω όριο στην ενέργεια, αυτό θα σημαίνει πως η εντροπία του αυξάνεται, αγγίζει το μέγιστο και έπειτα μειώνεται σε συνάρτηση με την ενέργεια, έως ότου φτάσει στο μέγιστο της ενέργειας. Επομένως, η παράγωγος παραπάνω είναι σε ένα τμήμα του πεδίου ορισμού αρνητική, επειδή και η εντροπία είναι εκεί, φθίνουσα συνάρτηση της ενέργειας. Σε αυτό το τμήμα είναι αρνητική η θερμοκρασία.

Σπιν των πυρήνων

Σε συστήματα που σχετίζονται με το πυρηνικό και ηλεκτρονιακό σπιν, υπάρχει συνήθως ένας πεπερασμένος αριθμός διαθέσιμων καταστάσεων, συνήθως δύο, που αντιστοιχούν στο διάνυσμα του σπιν να βρίσκεται προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Κατά την απουσία μαγνητικού πεδίου, οι καταστάσεις του σπιν είναι εκφυλισμένες, δηλαδή αντιστοιχούν στην ίδια ενέργεια. Όταν εφαρμοστεί ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, τα επίπεδα της ενέργειας διαχωρίζονται, ώστε αυτά που βρίσκονται παράλληλα προς τη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου να έχουν διαφορετική ενέργεια με αυτά που βρίσκονται αντιπαράλληλα.

Στην απουσία μαγνητικού πεδίου, θα περίμενε κάποιος πως ένα τέτοιο σύστημα με δύο πιθανές καταστάσεις σπιν, θα έχει τα μισά του άτομα με σπιν προς τα πάνω και τα άλλα μισά με σπιν προς τα κάτω, πράγμα που θεωρείται και λογικό εφόσον αυτή είναι η κατάσταση που μεγιστοποιεί την εντροπία. Με την εφαρμογή του μαγνητικού πεδίου, κάποια άτομα θα ευθυγραμμιστούν με αυτό, με σκοπό να ελαχιστοποιήσουν την ενέργεια του συστήματος, επομένως ο αριθμός των ατόμων που είναι σε χαμηλότερη ενεργειακά κατάσταση θα είναι μεγαλύτερος από αυτών που βρίσκονται σε υψηλότερη ενεργειακά στάθμη (θεωρούμε χάριν απλότητας πως το σπιν προς τα κάτω δηλώνει χαμηλότερη ενέργεια). Είναι δυνατόν να προσθέσουμε ενέργεια στο σύστημα των σπιν με τη χρήση τεχνικών ραδιοσυχνοτήτων. Αυτό θα εξανάγκαζε κάποια άτομα με σπιν προς τα κάτω να αλλάξουν και να βρεθούν να έχουν σπιν προς τα πάνω. Ένας άλλος τρόπος, στην περίπτωση των ατομικών πυρήνων, είναι μετά την εφαρμογή του μαγνητικού πεδίου, να αλλάξει η φορά του τόσο γρήγορα, ώστε κάποια σωματίδια του πυρήνα να μην προλάβουν να προσαρμοστούν στη νέα κατάσταση. Στην κατάσταση που προκύπτει για το μελετούμενο σύστημα, δεν υπάρχει μέγιστη εντροπία και έχουμε αρνητική θερμοκρασία, κάτι που κατάφεραν οι Purcell και Pound το 1951.

Αρχικά τα μισά άτομα βρισκόντουσαν με σπιν προς τα κάτω και τα άλλα μισά με σπιν προς τα πάνω το οποίο μας δίνει μια αναλογία 1/1, επομένως σε μια αύξουσα εντροπία που αντιστοιχίζεται σε θετική θερμοκρασία. Όμως σε κάποιο σημείο περισσότερα από τα μισά σπιν ήταν προς τα πάνω. Σε αυτή την περίπτωση, η πρόσθετη ενέργεια μειώνει την εντροπία, εφόσον μεταβάλλει την αναλογία 1/1, Αυτή η μείωση της εντροπίας μαζί με την προσθήκη επιπλέον ενέργειας δηλώνει την αρνητική θερμοκρασία.

Λέιζερ ημιαγωγών

Το φαινόμενο αυτό παρατηρείται επίσης σε πολλά συστήματα λέιζερ όπου ένα μεγάλο ποσοστό των ατόμων του συστήματος (σε λέιζερ αερίου ή χημικά λέιζερ) ή των ηλεκτρονίων (σε λέιζερ ημιαγωγών) βρίσκονται σε διεγερμένες καταστάσεις. Αυτό αναφέρεται σαν αναστροφή πληθυσμού και παίζει καταλυτικό ρόλο στην παραγωγή των ακτίνων λέιζερ.

Η Χαμιλτονιανή για μία κατάσταση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας σε συχνότητα ν είναι:

H=(h\nu -\mu )a^{\dagger }a.

Ο τελεστής πυκνότητας της γενικευμένης κανονικής συλλογής (grand canonical ensemble) είναι:

\rho ={\frac {\exp(-\beta H)}{\mathrm {Tr} \exp(-\beta H)}}.

Για να έχει το σύστημα μια θεμελιώδη κατάσταση, το ίχνος του τελεστή να συγκλίνει και γενικά ο τελεστής να έχει νοήμα, το βH πρέπει να είναι θετικά ημιορισμένα. Έτσι, αν το 'hν < μ και ο H είναι αρνητικά ημιορισμένα, το β πρέπει να είναι αρνητικό, και εφόσον β=1/kT (Τ: η θερμοκρασία), έχουμε και αρνητική θερμοκρασία.

Kittel, Charles και Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics (2nd ed.). W. H. Freeman Company. ISBN 0-7167-1088-9.
Montgomery, David C. (1972-04-10). «Two-dimensional vortex motion and “negative temperatures”». Physics Letters A 39 (1): 7-8.
Edwards, Samuel F. and J. Bryan Taylor (1974-02-05). «Negative Temperature States of Two-Dimensional Plasmas and Vortex Fluids». Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences 336 (1606): 257-271. http://links.jstor.org/sici?sici=0080-4630%2819740205%29336%3A1606%3C257%3ANTSOTP%3E2.0.CO%3B2-M.
Hsu, Wenyue και Richard Barakat (1992-09-15). «Statistics and thermodynamics of luminescent radiation». Physical Review B 46 (11): 6760-6767. http://link.aps.org/abstract/PRB/v46/p6760.
Purcell, Edward M. και Robert V. Pound (1951-01-15). «A Nuclear Spin System at Negative Temperature». Physical Review 81 (2): 279-280. http://link.aps.org/abstract/PR/v81/p279.