![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Parallel_transport_sphere.svg/langel-640px-Parallel_transport_sphere.svg.png&w=640&q=50)
Σύνδεση affine
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στον κλάδο των ̼μαθηματικών̺ που ονομάζεται διαφορική γεωμετρία, μια σύνδεση affine είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο σε μια ομαλή πολλαπλή που συνδέει κοντινά διαστήματα εφαπτομένης, και έτσι επιτρέπει εφαπτόμενα διανυσματικά πεδία να διαφοροποιούνται σαν να ήταν λειτουργίες στην πολλαπλή με τιμές σε ένα σταθερό χώρο φορέα. Η έννοια της affine σύνδεσης έχει τις ρίζες του στη γεωμετρία του 19ου αιώνα και ο τανυστής λογισμός, αλλά δεν είχε αναπτυχθεί πλήρως μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 1920, από τον Élie Cartan (ως μέρος της γενικής θεωρίας του για τις συνδέσεις) και Hermann Weyl (που χρησιμοποιείται για την έννοια ως ένα μέρος των θεμελίων του για τη γενική σχετικότητα). Η ορολογία που οφείλεται σε Cartan και έχει τις ρίζες της στον εντοπισμό των χώρων εφαπτομένης στoν Ευκλείδειο χώρο R^n από μετάφραση: η ιδέα είναι ότι η επιλογή των affine σύνδεση κάνει μια πολλαπλή να φαίνεται απειροελάχιστη, όπως στον Ευκλείδειο χώρο όχι μόνο ομαλά, αλλά και ως χώρος affine.
![]() |
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Parallel_transport_sphere.svg/320px-Parallel_transport_sphere.svg.png)
Σε κάθε πολλαπλή θετική διάσταση υπάρχουν απείρως πολλές affine συνδέσεις. Εάν η πολλαπλή είναι περαιτέρω προικισμένη με μια Riemannian μετρικό τότε υπάρχει μια φυσική επιλογή σύνδεσης affine, που ονομάζεται η σύνδεση Levi-Civita. Η επιλογή μιας σύνδεσης affine είναι ισοδύναμη με τη συνταγογράφηση, έναν τρόπο διαφοροποίησης των πεδίων φορέα ο οποίος πληροί αρκετές λογικές ιδιότητες (γραμμικότητα και ο κανόνας του Leibniz). Αυτό δίνει έναν πιθανό ορισμό μιας σύνδεσης affine ως coveriant παράγωγο ή (γραμμική) σχέση στη δέσμη εφαπτομένης. Μια ακόμη επιλογή των affine συνδέσεων είναι ότι είναι ισοδύναμο με μια έννοια της παράλληλης μεταφοράς, το οποίο είναι μια μέθοδος για τη μεταφορά διανυσμάτων εφαπτομένης κατά μήκος καμπυλών. Αυτό καθορίζει επίσης μια παράλληλη μεταφορά στη δέσμη πλαισίου. Απειροελάχιστη παράλληλη μεταφορά στη δέσμη πλαισίου δίνει μια άλλη περιγραφή μιας σύνδεσης affine, είτε ως μια σύνδεση Cartan για την ομάδα affine ή ως κύρια σύνδεση στη δέσμη πλαισίου.
Οι κύριες ιδιότητες μιας σύνδεσης affine είναι η στρέψη και καμπυλότητα της. Τα μέτρα στρέψης ανάλογα με το πόσο στενά συνδεδεμένα είναι με το στήριγμα Lie των διανυσματικών πεδίων μπορεί να ανακτηθεί από τη σύνδεση affine. Συνδέσεις affine μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να καθορίσουν (affine) geodesics σε ένα συλλέκτη, γενικεύοντας τις ευθείες γραμμές στον Ευκλείδειο χώρο, αν και η γεωμετρία των εν λόγω ευθειών γραμμών μπορεί να είναι πολύ διαφορετική από τη συνηθισμένη Ευκλείδεια γεωμετρία. Οι κύριες διαφορές συνοψίζονται στην καμπυλότητα της σύνδεσης.