Συνάρτηση του Βάιερστρας
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, η συνάρτηση του Βάιερστρας είναι ένα παράδειγμα συνάρτησης πραγματικών τιμών που είναι συνεχής παντού αλλά δεν είναι διαφορίσιμη. Αποτελεί παράδειγμα μορφοκλασματικής καμπύλης. Πήρε το όνομά της από τον ανακάλυψή της Καρλ Βάιερστρας.
Η συνάρτηση Βάιερστρας διαδραμάτισε ιστορικά το ρόλο μιας παθολογικής συνάρτησης, καθώς είναι το πρώτο δημοσιευμένο παράδειγμα (1872) που επινοήθηκε ειδικά για να αμφισβητήσει την αντίληψη ότι κάθε συνεχής συνάρτηση είναι διαφορίσιμη εκτός από ένα σύνολο απομονωμένων σημείων.[1] Η απόδειξη του Βάιερστρας ότι η συνέχεια δεν συνεπάγεται διαφορισιμότητα σχεδόν παντού έφερε τα πάνω κάτω στα μαθηματικά, ανατρέποντας αρκετές αποδείξεις που βασίζονταν στη γεωμετρική διαίσθηση και σε ασαφείς ορισμούς της ομαλότητας. Αυτοί οι τύποι συναρτήσεων κατακρίθηκαν από τους συγχρόνους: Ο Ανρί Πουανκαρέ τις περιέγραψε ως "τέρατα" και αποκάλεσε το έργο του Βάιερστρας "προσβολή της κοινής λογικής", ενώ ο Σαρλ Ερμίτ έγραψε ότι ήταν μια "θλιβερή μάστιγα". Οι συναρτήσεις ήταν δύσκολο να απεικονιστούν μέχρι την άφιξη των υπολογιστών τον επόμενο αιώνα, και τα αποτελέσματα δεν κέρδισαν ευρεία αποδοχή μέχρι που πρακτικές εφαρμογές, όπως μοντέλα της κίνησης Μπράουν, απαιτούσαν απείρως οδοντωτές συναρτήσεις (σήμερα γνωστές ως φράκταλ καμπύλες). [2]