![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Pentagonal_number.gif/640px-Pentagonal_number.gif&w=640&q=50)
Πενταγωνικός αριθμός
From Wikipedia, the free encyclopedia
Πενταγωνικός αριθμός είναι ένας αριθμός που επεκτείνει την έννοια των τριγωνικών και τωντετραγωνικών αριθμών πάνω στο πεντάγωνο, αλλά, σε αντίθεση με τους δύο πρώτους, τα μοτίβα που εμπλέκονται στην κατασκευή των πενταγωνικών αριθμών δεν είναι περιστροφικά συμμετρικά. Ο n-οστός πενταγωνικός αριθμός pn είναι ο αριθμός των διακριτών κουκκίδων σε ένα μοτίβο που αποτελείται από τα περιγράμματα κανονικών πενταγώνων με μήκος πλευρών έως n κουκκίδες, όταν τα πεντάγωνα επικαλύπτονται έτσι ώστε να μοιράζονται μία κορυφή. Για παράδειγμα, ο τρίτος πενταγωνικός αριθμός σχηματίζεται από τα περιγράμματα που περιέχουν 1, 5 και 10 κουκκίδες, αλλά η πρώτη και οι 3 από τις 5 συμπίπτουν με 3 από τις 10 – αφήνοντας 12 διακριτές κουκκίδες, 10 σε μορφή πενταγώνου και 2 μέσα στο πεντάγωνο.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Pentagonal_number.gif/320px-Pentagonal_number.gif)
Ο n-οστός πενταγωνικός αριθμός pn δίνεται από τον τύπο:
για κάθε n ≥ 1. Οι πρώτοι πενταγωνικοί αριθμοί είναι οι εξής:
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (ακολουθία A000326 στην OEIS).
Ο n-οστός πενταγωνικός αριθμός είναι το άθροισμα των πρώτων n ακεραίων που ξεκινούν από το n (δηλαδή από το n έως το 2n-1). Ισχύουν επίσης οι ακόλουθες σχέσεις:
Οι πενταγωνικοί αριθμοί σχετίζονται στενά με τους τριγωνικούς αριθμούς. Ο n-οστός πενταγωνικός αριθμός είναι το ένα τρίτο του (3n − 1)-οστού τριγωνικού αριθμού. Επιπλέον, αν Tn είναι ο n-οστός τριγωνικός αριθμός, τότε ισχύει ότι:
Οι γενικευμένοι πενταγωνικοί αριθμοί λαμβάνονται από τον τύπο που δίνεται παραπάνω, αλλά με το n να παίρνει τιμές με την εξής σειρά: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4... Έτσι, παίρνουμε την εξής ακολουθία:
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (ακολουθία A001318 στην OEIS).
Οι γενικευμένοι πενταγωνικοί αριθμοί είναι σημαντικοί για τη θεωρία των διαμερίσεων του Όιλερ, όπως εκφράζεται στο θεώρημά του για τους πενταγωνικούς αριθμούς.