Ισότητα (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, ισότητα ονομάζεται ένα οποιοδήποτε ζεύγος μαθηματικών παραστάσεων που συνδέονται με τον τελεστή =, δηλαδή αν ${\displaystyle A}$ είναι η μία παράσταση και ${\displaystyle B}$ η άλλη τότε η έκφραση ${\displaystyle A=B}$ είναι μια ισότητα. Το νόημα της ισότητας είναι ότι αν υπολογιστεί η τιμή της μιας παράστασης και η τιμή της άλλης, τότε οι δύο τιμές είναι ίδιες.

Αυτό το λήμμα αφορά την μαθηματική ισότητα. Για την Αρχή της Ισότητας (κοινωνική ισότητα), δείτε: Ισότητα.

Για τις διάφορες τιμές των δύο μεταβλητών ελέγχεται η αληθοτιμή της ισότητας. Όπου υπάρχει το σημάδι της έγκρισης η αληθοτιμή είναι αληθές και στα υπόλοιπα σημεία είναι ψευδές.

Υπάρχουν δύο είδη ισότητας:

• Η ταυτότητα που δηλώνει ότι η ισότητα ισχύει υπό οποιεσδήποτε συνθήκες.
• Η εξίσωση που δηλώνει ότι η ισότητα ισχύει μόνο υπό συγκεκριμένες συνθήκες.

Η ταυτότητα χρειάζεται να αποδειχθεί, ενώ η εξίσωση να να λυθεί, δηλαδή να βρεθούν οι τιμές των μεταβλητών των παραστάσεων που ικανοποιούν την ισότητα.

Αν μια εξίσωση ικανοποιείται για όλες τις τιμές των μεταβλητών λέγεται αόριστη και είναι ταυτότητα, αν δεν υπάρχουν τιμές που να την ικανοποιούν λέγεται αδύνατη.

Μια ισότητα μπορεί και η ίδια να γίνει αντικείμενο μιας μαθηματικής πράξης, συγκεκριμένα μιας λογικής πράξης, ενώ οι τιμές που λαμβάνει είναι αληθοτιμή. Σε αυτήν την περίπτωση υπολογίζονται οι δύο παραστάσεις και αν οι τιμές τους είναι ίδιες τότε η ισότητα λαμβάνει την αληθοτιμή αληθές, αν οι τιμές των δύο παραστάσεων δεν είναι ίδιες τότε η αληθοτιμή της ισότητας είναι ψευδές.

Ταύτιση

Μια άλλη έννοια σχετική με την ισότητα είναι η ταύτιση. Η ταύτιση συμβολίζεται με ${\displaystyle \equiv }$ και σημαίνει ότι τα δύο αντικείμενα δεν έχουν απλώς την ίδια τιμή αλλά είναι ίδια μεταξύ τους, δηλαδή οι δύο παραστάσεις αναπαριστούν το ίδιο πράγμα. Μερικές φορές αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιείται κυρίως στη φυσική, για να δηλωθούν με τύπους ορισμοί, για παράδειγμα ο ορισμός της ταχύτητας μπορεί να τυποποιηθεί ως:

${\displaystyle \upsilon \equiv {\frac {dx}{dt}}}$.

Παραδείγματα

• Οι αριθμητικές παραστάσεις ${\displaystyle 7+3}$ και ${\displaystyle 6+4}$ είναι ίσες, και γράφουμε ${\displaystyle 7+3=6+4}$.
• Η ταυτότητα ${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}}$ ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ${\displaystyle x}$ και ${\displaystyle y}$.
• Η εξίσωση ${\displaystyle x+3=10}$ έχει λύση το ${\displaystyle x=7}$.

Ισότητα συνόλων

Στην αξιωματική θεωρία συνόλων, δύο σύνολα ${\displaystyle S_{1}}$ και ${\displaystyle S_{2}}$ είναι ίσα, δηλαδή ${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$ ανν^[1]

${\displaystyle \forall z.\ (z\in S_{1}\Leftrightarrow z\in S_{2}).}$

Από αυτό τον ορισμό προκύπτει η συμμετρική ιδιότητα

${\displaystyle S_{1}=S_{2}\Rightarrow S_{2}=S_{1},}$

και η μεταβατική ιδιότητα της ισότητας,

${\displaystyle S_{1}=S_{2}\wedge S_{2}=S_{3}\Rightarrow S_{1}=S_{3}.}$

Παραπομπές

1. Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Καλιφόρνιας Λος Άντζελες. Ανακτήθηκε στις 22 Ιουλίου 2023.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Λεξιλογικός ορισμός του ισότητα στο Βικιλεξικό