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ein kombinatorisches Prinzip in der Mengenlehre Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Karo) ist ein „kombinatorisches“ Prinzip in der Mengenlehre.
Für jede unendliche Kardinalzahl ist eine Abkürzung für die folgenden Aussage:
Oft spricht man vereinfachend davon, dass das Prinzip es ermöglicht, Teilmengen von zu „erraten“. Während die Anzahl der Teilmengen von (also die Kardinalität der Potenzmenge von ) zwar nach dem Satz von Cantor größer als ist, postuliert , dass es eine transfinite Folge der Länge gibt, die alle Teilmengen von „errät“ (genauer: stationär oft besser und besser approximiert).
Statt schreibt man oft nur .
Die Aussage ◊ ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar.
Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus die Gleichung . Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus zusammen mit kann man schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also für alle mit überabzählbarer Konfinalität.
◊ impliziert, dass die Suslin-Hypothese falsch ist; mit anderen Worten: dass es eine Suslin-Gerade gibt, also eine nicht-separable lineare Ordnung, in der dennoch jede Familie von disjunkten Intervallen höchstens abzählbar ist.
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