Weierstraßscher Vorbereitungssatz

Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Nullstellen konvergenter Potenzreihen und Weierstraß-Polynomen her.

Einführung und Formulierung des Satzes

Es bezeichne ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$ den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0 in ${\displaystyle n}$ Veränderlichen; dieser Ring ist kanonisch isomorph zum Ring der Keime holomorpher Funktionen in ${\displaystyle n}$ Veränderlichen um den Nullpunkt.

Ein ${\displaystyle f\in {}_{n}{\mathcal {O}}}$ ist genau dann eine Einheit des Rings ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$, d. h. in dem Ring invertierbar, wenn ${\displaystyle f(0,\ldots ,0)\neq 0}$ ist, was wiederum bedeutet, dass der konstante Term der Potenzreihe von Null verschieden ist.

Jedes ${\displaystyle f\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$ kann mittels der Festlegung ${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n}):=f(z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$ als Element von ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$ aufgefasst werden; hiermit wird der Ring ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$ zu einem Unterring von ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$. Auch der Polynomring ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]}$ ist dann ein Unterring von ${\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}}$. Wenn im Kontext des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes von Polynomgrad oder Grad gesprochen wird, dann ist der Grad von Elementen aus ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]}$ als Polynome in ${\displaystyle z_{n}}$ gemeint.

Ein Weierstraß-Polynom ist ein Element aus ${\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]}$ der Form

${\displaystyle z_{n}^{m}+a_{m-1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}^{m-1}+\ldots +a_{1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}+a_{0}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$

mit konvergenten Potenzreihen ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{m-1}\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}}$, die in 0 verschwinden, d. h. mit ${\displaystyle a_{i}(0,\ldots ,0)=0}$.

Eine Potenzreihe ${\displaystyle f\in {}_{n}{\mathcal {O}}}$ heißt in ${\displaystyle z_{n}}$ regulär, falls die holomorphe Funktion ${\displaystyle z\mapsto f(0,\ldots ,0,z)}$ nicht die Nullfunktion ist, und in ${\displaystyle z_{n}}$ regulär von der Ordnung ${\displaystyle m}$, falls die Funktion ${\displaystyle z\mapsto f(0,\ldots ,0,z)}$ in 0 eine Nullstelle der Ordnung ${\displaystyle m}$ hat.

Mit diesen Begriffsbildungen gilt der folgende Satz, genannt Weierstraßscher Vorbereitungssatz.^[1][2]

Sei ${\displaystyle f\in {}_{n}{\mathcal {O}}}$ eine konvergente Potenzreihe, die in ${\displaystyle z_{n}}$ regulär von der Ordnung ${\displaystyle m}$ ist. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Weierstraß-Polynom ${\displaystyle h\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]}$ vom Grad ${\displaystyle m}$ und eine eindeutig bestimmte Einheit ${\displaystyle u\in {}_{n}{\mathcal {O}}}$ mit ${\displaystyle f=u\cdot h}$.

Beweisidee

${\displaystyle f}$ konvergiert auf einem geeigneten Polykreis ${\displaystyle \Delta (0;r_{1},\ldots ,r_{n})}$. Da ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle z_{n}}$ regulär von der Ordnung ${\displaystyle m}$ ist, findet man ${\displaystyle 0<\delta _{j}<r_{j}}$, so dass die Funktion${\displaystyle z_{n}\mapsto f(z_{1},\ldots ,z_{n-1},z_{n})}$ für jedes feste ${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in \Delta (0;\delta _{1},\ldots ,\delta _{n-1})}$ genau ${\displaystyle m}$ Nullstellen im Kreis ${\displaystyle \Delta (0;\delta _{n})}$ hat. Diese seien mit ${\displaystyle \varphi _{1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1}),\ldots ,\varphi _{m}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$ bezeichnet, wobei für Mehrfachnullstellen Wiederholungen auftreten. Multipliziert man

${\displaystyle h(z_{1},\ldots ,z_{n}):=\prod _{k=1}^{m}(z_{n}-\varphi _{k}(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))}$

aus, so erhält man ein Weierstraß-Polynom, das das Verlangte leistet.

Bemerkung

Der Name Vorbereitungssatz rührt daher, dass die Potenzreihe für die Untersuchung ihrer Nullstellen vorbereitet wird. Da der Faktor ${\displaystyle u}$ als Einheit in einer Umgebung von 0 nicht verschwindet, sind die Nullstellen in einer solchen Umgebung dieselben wie die des Weierstraß-Polynoms.^[3]

Für ${\displaystyle n=1}$, das heißt für holomorphe Funktionen einer Variablen, muss das Weierstraß-Polynom das normierte Monom ${\displaystyle z_{1}^{m}}$ sein. Es ist dann ${\displaystyle f(z_{1})=u(z_{1})z_{1}^{m}}$ mit einer holomorphen Funktion ${\displaystyle u}$, die in 0 nicht verschwindet. Der Vorbereitungssatz verallgemeinert daher die Tatsache, dass eine holomorphe Funktion einer Veränderlichen mit ${\displaystyle m}$-facher Nullstelle in 0 als ${\displaystyle u(z_{1})z_{1}^{m}}$ mit einer holomorphen in 0 nicht verschwindenden Funktion ${\displaystyle u}$ geschrieben werden kann, auf ${\displaystyle n}$ Dimensionen.

Zur Einordnung des Satzes soll noch erwähnt werden, dass sich aus ihm sehr leicht ein Satz über implizite Funktionen ergibt.^[4] Ist nämlich ${\displaystyle f\in {}_{n}{\mathcal {O}}}$ in ${\displaystyle z_{n}}$ regulär von erster Ordnung, so hat ${\displaystyle f}$ nach dem Vorbereitungssatz die Form

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=u(z_{1},\ldots ,z_{n})\cdot (z_{n}-a(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))}$

mit einer holomorphen Funktion ${\displaystyle a}$. Da ${\displaystyle u(0)\not =0}$, gilt in einer Umgebung von 0

${\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})=0\Longleftrightarrow z_{n}=a(z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$.

Siehe auch

• Divisionssatz von Weierstraß

Einzelnachweise

1. Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag (2001), ISBN 978-3-528-03174-9, Theorem 2.1
2. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. II.B, Theorem 2 (Weierstrass Preparation Theorem)
3. Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag (2001), ISBN 978-3-528-03174-9, Bemerkung 2.3
4. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. II.B, Seite 70