Ungleichungen von Weierstraß

Die Ungleichungen von Weierstraß (englisch Weierstrass’ inequalities) gehören zu den elementaren Ungleichungen des mathematischen Gebiets der Analysis. Sie gehen auf den deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zurück.^[1]

Die weierstraßschen Ungleichungen führten zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen, welche verbesserte und allgemeinere Ungleichungen ähnlichen Typs lieferten.

Formulierung

Die Ungleichungen lauten folgendermaßen:^[2]

Gegeben seien zu einer natürlichen Zahl ${\displaystyle N>0}$ im offenen reellen Intervall ${\displaystyle (0,1)}$ die ${\displaystyle N}$ reellen Zahlen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N}\in (0,1)}$.

Dann gelten:

(W1a) ${\displaystyle \quad \prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}>1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}$

(W1b) ${\displaystyle \quad \prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}<{\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}}$

(W2a) ${\displaystyle \quad \prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}>1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}$

(W2b) ${\displaystyle \quad \prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}<{\frac {1}{1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}}$  , sofern ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{a_{k}}<1}$

Anmerkung

Die obigen Ungleichungen (W1a) und (W2a) beinhalten eine Verallgemeinerung der bernoullischen Ungleichung.^[3]

Literatur

• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 210, S. 396
2. Mitrinović, op. cit., S. 210
3. Vgl. Mitrinović, op. cit., S. 35!