In der Stochastik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die die Korrelation zwischen den Komponenten eines Zufallsvektors erfasst. Die Korrelationsmatrix kann aus der Varianz-Kovarianzmatrix erhalten werden und umgekehrt.
Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten.[1] Analog zur Varianz-Kovarianzmatrix ist die Korrelationsmatrix definiert als[2]
- ,
wobei der Korrelationskoeffizient zwischen und ist.
Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von die Korrelation von mit jeder anderen -Variablen.
Die Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit wird als bzw. und die Stichproben-Korrelationsmatrix als bezeichnet. Wenn man die Diagonalmatrix definiert, dann erhält man durch und umgekehrt:
oder äquivalent
- .
- Sind alle Komponenten des Zufallsvektors linear unabhängig, so ist positiv definit.
- Auf der Hauptdiagonalen wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins.
- Bei Stichprobenziehung aus einer mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben-Korrelationsmatrix Maximum-Likelihood-Schätzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit .[3]
Spezielle Matrizen in der Statistik