Singuläres Maß

Ein singuläres Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es spielt eine große Rolle bei der Klassifizierung von Maßen bezüglich eines anderen Maßes und findet besondere Anwendung beim Zerlegungssatz von Lebesgue sowie beim Darstellungssatz in der Stochastik.

Definition

Ein (signiertes oder gewöhnliches) Maß ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]}$ heißt singulär bezüglich eines anderen (signierten oder gewöhnlichen) Maßes ${\displaystyle \mu }$ (auch singulär zu ${\displaystyle \mu }$ oder ${\displaystyle \mu }$-singulär), wenn es eine Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ gibt mit

${\displaystyle \nu (\Omega \setminus A)=0}$ und ${\displaystyle \mu (A)=0}$.

Hierbei sind die Maße ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ auf dem gleichen Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ definiert. Für „${\displaystyle \nu }$ ist singulär bezüglich ${\displaystyle \mu }$“ schreibt man kurz ${\displaystyle \nu \perp \mu }$.

Beispiele

• Das Null-Maß ist bezüglich jedes anderen Maßes auf einem beliebigen Messraum singulär.
• Jedes Dirac-Maß auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ ist bezüglich des Lebesgue-Maßes singulär.
• Jede diskrete Verteilung auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}$ ist bezüglich des Lebesgue-Maßes singulär.
• Die Cantor-Verteilung auf dem Messraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ ist eine stetige, singuläre Verteilung bezüglich des Lebesgue-Maßes.
• Für die Hahn-Jordan-Zerlegung ${\displaystyle \nu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$ eines signierten Maßes ${\displaystyle \nu }$ gilt ${\displaystyle \nu ^{+}\perp \nu ^{-}}$.

Eigenschaften

• Die Singularität von Maßen ist eine symmetrische Relation. Es gilt also

${\displaystyle \nu \perp \mu \Leftrightarrow \mu \perp \nu }$.

• Für Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten gilt, dass sie genau dann singulär zueinander sind, wenn ihr Hellingerabstand gleich eins ist.

Wichtige Aussagen

Der Zerlegungssatz von Lebesgue liefert für ein signiertes Maß ${\displaystyle \nu }$ und ein Maß ${\displaystyle \mu }$ eine Zerlegung von ${\displaystyle \nu }$ in einen Anteil, der singulär bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist und in einen Anteil, der absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \mu }$ ist.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.