Rotationszahl (Kontaktgeometrie)

In der Kontaktgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik ist die Rotationszahl eine Invariante von Legendre-Knoten.

Definition

Sei ${\displaystyle (M,\xi )}$ eine Kontaktmannigfaltigkeit und ${\displaystyle L\subset M}$ ein Legendre-Knoten.

Die Einschränkung von ${\displaystyle \xi }$ auf eine Seifert-Fläche ist trivialisierbar, man erhält einen Isomorphismus ${\displaystyle \xi \mid _{L}\simeq L\times \mathbb {R} ^{2}}$. Man kann die Ableitung des Legendre-Knotens ${\displaystyle \gamma \colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ mittels der Trivialisierung als Abbildung ${\displaystyle \gamma ^{\prime }\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ auffassen. Ihre Windungszahl ist die Rotationszahl des Legendre-Knotens.

Formeln für Rotationszahl und Thurston-Bennequin-Invariante eines Legendre-Knotens in Frontprojektion

Für die Frontprojektion kann man die Rotationszahl als ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\sharp D-\sharp U)}$ berechnen, wobei D die in Richtung der negativen z-Achse durchlaufenen Cusp-Singularitäten und U die in Richtung der positiven z-Achse verlaufenden Cusp-Singularitäten sind.

Für die Lagrange-Projektion kann man die Rotationszahl als Umlaufzahl berechnen.