Rosenbrock-Wanner-Verfahren

Die Rosenbrock-Wanner-Verfahren (oder ROW-Methoden, oft auch nur als Rosenbrock-Verfahren bezeichnet) sind in der Numerik spezielle Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Sie sind benannt nach Howard H. Rosenbrock und Gerhard Wanner.

Bei den Einschrittverfahren besitzen bestimmte implizite Runge-Kutta-Verfahren für steife Anfangswertprobleme sehr gute Stabilitätseigenschaften, ihre praktische Durchführung erfordert aber wegen der Lösung von nichtlinearen Gleichungen einen hohen Rechenaufwand. Aus diesem Grund betrachtet man linear-implizite Verfahren wie die Rosenbrock-Wanner-Verfahren.

Verfahrens-Struktur

Wie bei Runge-Kutta-Verfahren besitzen die Verfahren ${\displaystyle s}$ verschiedene Stufen, welche die Lösung ${\displaystyle y(t)}$ des Systems ${\displaystyle y'(t)=f{\big (}t,y(t){\big )}}$ an Zwischenstellen ${\displaystyle t_{n}+h_{n}c_{i},\,i=1,\ldots ,s,}$ eines Zeitschritts der Schrittweite ${\displaystyle h=h_{n}}$ approximieren. Im Unterschied zu Runge-Kutta-Verfahren sind aber nur lineare Gleichungssysteme zu lösen. Das Verfahren besitzt Koeffizientensätze ${\displaystyle a_{ij},\gamma _{ij},b_{i}}$, die Verfahrensgestalt ist

${\displaystyle {{\big (}I-h\gamma _{ii}T{\big )}k_{i}=f{\Bigl (}t_{n}+hc_{i},y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}{\Bigr )}+hT\sum _{j=1}^{i-1}\gamma _{ij}k_{j}+hd_{i}f_{t}(t_{n},y_{n}),\ i=1,\ldots ,s}}$

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}}$

In jeder Stufe ist also ein lineares ${\displaystyle d\times d}$-System zu lösen, wenn ${\displaystyle f:\,\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ ist. Die Matrix ${\displaystyle T}$ in den Stufensystemen ist die Jacobimatrix am Anfang des Zeitschritts, ${\displaystyle T=f_{y}(t_{n},y_{n})}$, zwischen den Verfahrenskoeffizienten fordert man die Beziehungen

${\displaystyle c_{i}=\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij},\quad d_{i}=\sum _{j=1}^{i}\gamma _{ij}.}$

Wenn alle ${\displaystyle \gamma _{ii}\equiv \gamma }$ gleich sind, ist beim Gauß-Algorithmus die teure LR-Zerlegung nur einmal zu berechnen. Die Verfahren können ebenfalls durch ein (erweitertes) Butcher-Tableau

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}c&A&\Gamma \\\hline &b&\end{array}}}$

beschrieben werden, wobei ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ und ${\displaystyle \Gamma =(\gamma _{ij})}$ untere Dreieckmatrizen sind. Eine ursprüngliche Form der Verfahren ohne die Zusatzterme mit ${\displaystyle \gamma _{ij},j<i}$, geht auf H.H. Rosenbrock (1963) zurück, die vollständige Form wurde 1977 von G. Wanner eingeführt.

Konsistenz und Stabilität

Die ROW-Methoden lassen sich so interpretieren, dass man bei einem diagonal-impliziten Runge-Kutta-Verfahren genau einen Schritt des Newton-Verfahrens ausführt. Daher sind für ein Verfahren der Ordnung ${\displaystyle p}$ mindestens ${\displaystyle s\geq p-1}$ Stufen erforderlich. Bei geeigneter Wahl des Diagonalwerts ${\displaystyle \gamma \equiv \gamma _{ii}}$ existieren A-stabile Verfahren.

Beispiel-Verfahren

Das zwei-stufige Verfahren mit dem Tableau

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc|cc}0&0&&\gamma &0\\{\frac {2}{3}}&{\frac {2}{3}}&0&-{\frac {4}{3}}\gamma &\gamma \\\hline &{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}&\end{array}}}$

und ${\displaystyle \gamma =(1+1/{\sqrt {3}})/2}$ besitzt Ordnung 3 und ist A-stabil. Es gibt eine effiziente ROW-Methode GRK4T von Kaps und Rentrop mit ${\displaystyle s=4}$ Stufen und Ordnung ${\displaystyle p=4}$, bei dem über ein eingebettetes Verfahren auch eine Schrittweitensteuerung möglich ist.

Verallgemeinerungen

Wenn man die Bedingung ${\displaystyle T=f_{y}(t_{n},y_{n})}$ fallen lässt, bekommt man sogenannte W-Methoden, bei denen man eine grobe Approximation ${\displaystyle T}$ der Jacobimatrix von ${\displaystyle f}$ verwenden kann, etwa indem man die LR-Zerlegung von ${\displaystyle I-h\gamma T}$ nicht in jedem Zeitschritt neu berechnet. Für diesen Typ existieren aber nur Verfahren geringer Ordnung.

Literatur

• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag.
• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems. Second Revised Edition, Springer Verlag.
• K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen. Springer Spektrum, 2012.