Loading AI tools
Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine reguläre Menge ist in der Geometrie eine Teilmenge des euklidischen Raums, die gleich dem Abschluss ihres Inneren ist. Eine reguläre Menge besitzt damit keine echt niederdimensionalen Teile und enthält vollständig ihren Rand. Durch Regularisierung können auf regulären Mengen reguläre Mengenoperationen, wie Schnitt, Vereinigung, Differenz und Komplement, definiert werden. Reguläre Mengen werden insbesondere in der geometrischen Modellierung und in der Computergrafik verwendet, in einem allgemeineren Kontext werden sie auch in der Topologie betrachtet.
Eine Teilmenge des euklidischen Raums heißt regulär, wenn
gilt, wobei das Innere und den Abschluss einer Menge bezeichnen.[1][2] Eine reguläre Menge wird also dadurch charakterisiert, dass sie gleich dem Abschluss ihres Inneren ist. Die Menge der regulären Mengen in wird mit bezeichnet.
Beispiele für reguläre Mengen sind:
Reguläre Mengen besitzen folgende Eigenschaften:
Unter der Regularisierung einer Menge versteht man die Operation
wobei die Potenzmenge darstellt. Durch Regularisierung wird demnach einer Menge die zugehörige reguläre Menge zugeordnet. Eine reguläre Menge ist gerade dadurch charakterisiert, dass sie gleich ihrer eigenen Regularisierung ist, also gilt.[1]
Mit Hilfe der Regularisierungsoperation lassen sich die folgenden regulären Mengenoperationen für die Vereinigung, den Schnitt und die Differenz zweier regulärer Mengen definieren:[1][2]
Hinzu kommt die reguläre Komplementbildung einer Menge :
Die regulären Mengen sind unter diesen regulären Mengenoperationen abgeschlossen. Das Tupel stellt auch eine boolesche Algebra dar. Im dreidimensionalen Raum bilden die regulären Mengenoperationen das Grundgerüst für die konstruktive Festkörpergeometrie (Constructive Solid Geometry).[3]
Reguläre Mengen können allgemeiner auch in topologischen Räumen betrachtet werden. Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt dabei regulär abgeschlossen, falls
gilt, und regulär offen, falls
gilt. Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist dabei genau dann regulär abgeschlossen, wenn ihr Komplement regulär offen ist.[4] Mit der Halbordnung und den entsprechenden regulären Mengenoperationen bilden sowohl die regulär offenen, als auch die regulär abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raums jeweils eine vollständige boolesche Algebra.[5] Ein topologischer Raum, dessen regulär offene Teilmengen eine Basis des Raums bilden, heißt halbregulär.[6] Jeder reguläre Raum, also jeder topologische Raum, in dem alle Punkte Umgebungsbasen aus abgeschlossenen Mengen besitzen, ist auch halbregulär und besitzt damit auch eine Basis aus regulär offenen Teilmengen.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.