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Regel der Differentialrechnung Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. In Kurzschreibweise lautet sie
Somit führt die Quotientenregel die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.
Sind die Funktionen und von einem Intervall in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle mit differenzierbar, dann ist auch die Funktion mit
an der Stelle differenzierbar und es gilt
Ist , so erhält man für durch Anwendung der Quotientenregel
Ausmultipliziert ergibt sich
Der Quotient kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten und sind (siehe Abbildung). Wenn um anwächst, ändert sich um und um . Die Änderung der Steigung ist dann
Dividiert man durch , so folgt
Bildet man nun Limes , so folgt
Gegeben sei Nach der Produktregel gilt:
Mit der Kehrwertregel
folgt
Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung . Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass existiert.
folglich:
Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:
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