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In der Stochastik bezeichnet der Begriff der Stoppzeit eine spezielle Art von Zufallsvariablen, die auf filtrierten Wahrscheinlichkeitsräumen definiert werden. Stoppzeiten sind nicht nur von Bedeutung für die Theorie der stochastischen Prozesse (beispielsweise bei der Lokalisierung von Prozessklassen oder Untersuchungen von gestoppten Prozessen), sondern auch von praktischer Relevanz, etwa für das Problem des optimalen Ausübungszeitpunkts für amerikanische Optionen. Eine Stoppzeit wird auch als Optionszeit bezeichnet.[1]
Eine Stoppzeit ist eine vom Zufall abhängende Zeit , bei der zu jedem Zeitpunkt bei bekannter Vergangenheit des stochastischen Prozesses bis zum Zeitpunkt entschieden werden kann, ob das Ereignis eingetreten ist oder nicht. Eine Stoppzeit wird daher auch als eine nicht von der Zukunft abhängende zufällige Zeit, als eine nicht vorgreifende Zeit oder eine Markowsche Zeit bezeichnet.[2] In der aus dem Russischen in das Englische übersetzten Fachliteratur finden sich auch die Bezeichnungen Markov moment (dt. Markow-Moment) oder Markov time (dt. Markow-Zeit)[3].
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum .
Ist eine Filtrierung in gegeben, so heißt eine Zufallsvariable
eine Stoppzeit (bezüglich ), wenn
ist.
Gegeben sei eine geordnete Indexmenge , die ein Intervall aus ist. Ist eine Filtrierung in gegeben, so heißt eine Zufallsvariable
eine Stoppzeit (bezüglich ), wenn
Eine Stoppzeit heißt eine endliche Stoppzeit, wenn
ist.
Zu beachten ist, dass die Eigenschaft, eine Stoppzeit zu sein, keine Eigenschaft der Zufallsvariable alleine, sondern eine Eigenschaft der Zufallsvariable in Verbindung mit einer Filtrierung ist. Daher muss bei Angabe oder Definition immer die Filtrierung mit angegeben werden.
Eine Stoppzeit kann man als die Wartezeit interpretieren, die vergeht, bis ein bestimmtes zufälliges Ereignis eintritt. Wenn wie üblich die Filtrierung die vorhandene Information zu verschiedenen Zeitpunkten angibt, bedeutet die obige Bedingung also, dass zu jeder Zeit bekannt sein soll, ob dieses Ereignis bereits eingetreten ist oder nicht.
Gegeben sei filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum .
Sei eine Stoppzeit.[6]
Ein gestoppter Prozess ist eine Kombination eines stochastischen Prozesses und einer Stoppzeit, die Werte in der Indexmenge („Zeitmenge“) des stochastischen Prozesses annimmt. Gestoppte Prozesse sind Prozesse, die nach einer zufälligen Zeit angehalten werden bzw. ihren Wert nicht mehr verändern. Sie modellieren beispielsweise Ausstiegsstrategien bei einer zeitlichen Abfolge von Glücksspielen.
Unter einer Lokalisierung versteht man die Erweiterung einer Prozessklasse, die eine gewisse Eigenschaft besitzt, um die Menge aller Prozesse, die gestoppt unter aufsteigenden Folgen von Stoppzeiten ebenfalls diese Eigenschaft besitzt. Typisches Beispiel sind die Martingale und die lokalen Martingale.
Die σ-Algebra der τ-Vergangenheit ist eine spezielle σ-Algebra, welche über die Filtrierung und die Stoppzeit definiert wird. Sie findet beispielsweise Anwendung bei der Definition der starken Markow-Eigenschaft und dem Optional Sampling Theorem.
Es seien und Stoppzeiten bezüglich einer Filtration sowie
Dann gilt
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