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Hilfsmittel der Graphentheorie Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der Nebenklassengraph ist ein graphentheoretisches Hilfsmittel der Gruppentheorie. Durch ihn können einige gruppentheoretische Sachverhalte anschaulich und einfach formuliert werden. In der Vergangenheit konnten einige Beweise durch ihn vereinfacht und stark verkürzt werden.
Sei eine Gruppe, und seien Untergruppen von . Sei der Graph mit Eckenmenge , aller Nebenklassen nach den , und der Kantenmenge . Dann heißt der Nebenklassengraph nach den .
operiert vermöge Rechtsmultiplikation auf und . Man spricht dabei häufig von der Operation von auf , wobei aus dem Zusammenhang zu erkennen ist, welche der beiden Operationen gemeint ist. In den meisten Fällen ist von der Operation auf der Eckenmenge die Rede.
Die Operation von auf zerfällt in Bahnen, wobei jeweils einen Repräsentanten dieser Bahnen darstellen. (Insbesondere ist n-partit mit Partitionen ).
Sei . Dann bezeichne die Bahn von unter und den Stabilisator von in . Mit sei die Menge der Nachbarn von bezeichnet.
Sei . Dann gilt:
Der folgende Satz zeigt, wie die oft etwas unhandliche Erzeugniseigenschaft in Gruppen mit Hilfe des Nebenklassengraphen in eine einfache graphentheoretische Eigenschaft umformuliert werden kann.
ist genau dann zusammenhängend, wenn ist.
Eine wesentliche Anwendung erfährt der Nebenklassengraph in der so genannten Amalgam-Methode, bei der die Untersuchung der Gruppe reduziert wird auf die Untersuchung von Untergruppen . Diese Reduktion schafft insofern Vorteile, als dass die Gruppe unendlich sein darf. Solange nur die endlich sind, stehen sämtliche Sätze und Methoden der endlichen Gruppentheorie zur Verfügung.
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