Minimalpolynom (Körpertheorie)

In der Körpertheorie ist das Minimalpolynom ein Begriff, der bei einer Körpererweiterung auftritt.

Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, $K[X]$ der Polynomring zu $K$ mit der Unbestimmten $X$ und sei $a\in L$ algebraisch, das heißt, es existiert $0\neq p(X)\in K[X]$ mit $p(a)=0$ . Dann existiert ein Polynom $m(X)\in K[X]$ (genannt das Minimalpolynom) mit den Eigenschaften

$m(X)$ ist normiert,
$m(a)=0$ ,
$m(X)$ hat minimalen Grad, d. h., für jedes $g(X)\in K[X]\setminus \{0\}$ gilt $\deg(g)<\deg(m)\;\implies \;g(a)\neq 0$ ,
$m(X)$ ist eindeutig (durch $a$ bestimmt), d. h., für jedes weitere $m^{\ast }(X)\in K[X]$ , welches die Eigenschaften 1–3 erfüllt, gilt schon $m^{\ast }(X)=m(X)$ .

Betrachtet man den Erweiterungskörper $L$ als Vektorraum über $K$ und ein bestimmtes Element $\alpha \in L$ als Endomorphismus auf $L$ (durch die Abbildung $F_{\alpha }\colon L\to L,x\mapsto \alpha \cdot x$ ), so kommt man bei einem algebraischen Element $\alpha$ zum selben Minimalpolynom (im Sinn der linearen Algebra) wie in der Körpertheorie.

Eigenschaften

Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.
Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element $x$ als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von $x$ .
Der Grad des Minimalpolynoms von $x$ ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung $K(x)/K$ .

Siehe auch: Zerfällungskörper, Satz von Cayley-Hamilton

Beispiele

Betrachte die Körpererweiterung $\mathbb {Q} (\mathrm {i} )/\mathbb {Q}$ mit der imaginären Einheit $\textstyle \mathrm {i}$ :
Das Minimalpolynom von $\textstyle \mathrm {i}$ ist $\textstyle x^{2}+1$ , denn es hat $\textstyle \mathrm {i}$ als Nullstelle, ist normiert, und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in $\mathbb {Q}$ .
Es gibt keine Erweiterung, in der ein Element mit Minimalpolynom $\textstyle x^{3}+x$ existiert: Das Polynom $\textstyle x^{3}+x$ lässt sich als $(x^{2}+1)\cdot x$ darstellen und kann somit für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades sein.

Beispiele für Minimalpolynome eines algebraischen Elements

Minimalpolynome über $\mathbb {Q}$ von ${\sqrt {a}}$ , wobei ${\sqrt {a}}$ eine beliebige komplexe Quadratwurzel ist:
${\sqrt {a}}$ ist Nullstelle von $\textstyle X^{2}-a$ . Dieses Polynom ist irreduzibel über $\mathbb {Q}$ , wenn ${\sqrt {a}}\notin \mathbb {Q}$ und in diesem Fall das gesuchte Minimalpolynom.
Für den Fall ${\sqrt {a}}\in \mathbb {Q}$ ist das Minimalpolynom $X-{\sqrt {a}}$ .

Minimalpolynome über $\mathbb {Q}$ von $\xi _{3}=e^{(2\pi \mathrm {i} )/3}$ : Wegen $\xi _{3}^{3}=1$ ist $\xi _{3}$ Nullstelle von $X^{3}-1$ . Dieses Polynom ist aber nicht irreduzibel, denn es hat die Faktorisierung $(X-1)(X^{2}+X+1)$ . Offensichtlich ist $\xi _{3}$ keine Nullstelle von $X-1$ . Also muss $\xi _{3}$ Nullstelle von $X^{2}+X+1$ sein. Und dieses Polynom ist irreduzibel (z. B. durch Reduktion modulo 2), weshalb es sich dabei um das Minimalpolynom von $\xi _{3}$ über $\mathbb {Q}$ handeln muss.

Minimalpolynom über $\mathbb {Q}$ von $\alpha ={\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt {2}}$ : Hier ist es hilfreich, eine normale Körpererweiterung $L/\mathbb {Q}$ mit $\alpha \in L$ zu betrachten. Dies ist z. B. für $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}},\mathrm {i} )$ gegeben, dem Zerfällungskörper des Polynoms $X^{4}-2$ . In $L$ zerfällt das Minimalpolynom von $\alpha$ in Linearfaktoren. Die Nullstellen sind Konjugierte von $\alpha$ , also von der Form $\sigma (\alpha )$ für ein $\sigma$ aus der Galoisgruppe von $L/\mathbb {Q}$ .