Gestreckte Exponentialfunktion

Die als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnete mathematische Funktion ist eine Verallgemeinerung der Exponentialfunktion mit einem zusätzlichen Parameter ${\displaystyle \beta >0}$ im Exponenten:

${\displaystyle \phi (t)=e^{-\left(t/\tau \right)^{\beta }}}$

Gestreckte Exponentialfunktion ${\displaystyle \beta ={\mbox{2/5}}=0{,}4}$ (blau); gewöhnliche Exponentialfunktion mit ${\displaystyle \beta =1}$ (schwarz); gestauchte Exponentialfunktion mit ${\displaystyle \beta ={\mbox{5/2}}=2{,}5}$ (rot).

oder, mit ${\displaystyle \alpha =\tau ^{-\beta }}$:

${\displaystyle \phi (t)=e^{-\alpha \,t^{\beta }}}$.

In den meisten Anwendungen ist ${\displaystyle \beta <1}$, was mit der namensgebenden Streckung einhergeht: Die Funktion fällt langsamer ab als die gewöhnliche Exponentialfunktion mit ${\displaystyle \beta =1}$. Für ${\displaystyle \beta >1}$ erhält man die gestauchte Exponentialfunktion, für ${\displaystyle \beta =2}$ die Gaußfunktion. Anwendung ist unter anderem die Weibull-Verteilung.

Die gestreckte Exponentialfunktion wurde 1854 von Rudolf Kohlrausch eingeführt, um die Relaxation der elektrischen Polarisation eines Kondensators mit Glasdielektrikum zu beschreiben.^[1]

Die gestreckte Exponentialfunktion wird auch als Kohlrausch-Funktion oder Kohlrausch-Williams-Watts-Funktion, nach Graham Williams und David C. Watts bezeichnet, die diese 1970 wieder entdeckten.^[2]

In der Physik wird die gestreckte Exponentialfunktion oft zur Beschreibung von Relaxationsprozessen in ungeordneten Materialien (z. B. glasbildende Flüssigkeiten und amorphe Polymere) benutzt.^[2][3]

Einzelnachweise

1. R. Kohlrausch: Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche. In: Annalen der Physik und Chemie Bd. 91, 1854, S. 56–82, 179–214; online (S. 56–82) online (S. 179–214).
2. G. Williams, D. C. Watts: Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behaviour Arising from a Simple Empirical Decay Function. In: Transactions of the Faraday Society Bd. 66, 1970, S. 80–85; doi:10.1039/TF9706600080
3. Peter Lunkenheimer, Ulrich Schneider, Robert Brand, Alois Loidl: Glassy dynamics. In: Contemporary Physics. Band 41, Nr. 1, 2000, S. 15–36, doi:10.1080/001075100181259.