Gestreckte Exponentialfunktion

Die als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnete mathematische Funktion ist eine Verallgemeinerung der Exponentialfunktion mit einem zusätzlichen Parameter ${\displaystyle \beta >0}$ im Exponenten:

${\displaystyle \phi (t)=e^{-\left(t/\tau \right)^{\beta }}}$

Gestreckte Exponentialfunktion ${\displaystyle \beta ={\mbox{2/5}}=0{,}4}$ (blau); gewöhnliche Exponentialfunktion mit ${\displaystyle \beta =1}$ (schwarz); gestauchte Exponentialfunktion mit ${\displaystyle \beta ={\mbox{5/2}}=2{,}5}$ (rot).

oder, mit ${\displaystyle \alpha =\tau ^{-\beta }}$:

${\displaystyle \phi (t)=e^{-\alpha \,t^{\beta }}}$.

In den meisten Anwendungen ist ${\displaystyle \beta <1}$, was mit der namensgebenden Streckung einhergeht: Die Funktion fällt langsamer ab als die gewöhnliche Exponentialfunktion mit ${\displaystyle \beta =1}$. Für ${\displaystyle \beta >1}$ erhält man die gestauchte Exponentialfunktion, für ${\displaystyle \beta =2}$ die Gaußfunktion. Anwendung ist unter anderem die Weibull-Verteilung.

Die gestreckte Exponentialfunktion wurde 1854 von Rudolf Kohlrausch eingeführt, um die Relaxation der elektrischen Polarisation eines Kondensators mit Glasdielektrikum zu beschreiben.^[1]

Die gestreckte Exponentialfunktion wird auch als Kohlrausch-Funktion oder Kohlrausch-Williams-Watts-Funktion, nach Graham Williams und David C. Watts bezeichnet, die diese 1970 wieder entdeckten.^[2]

In der Physik wird die gestreckte Exponentialfunktion oft zur Beschreibung von Relaxationsprozessen in ungeordneten Materialien (z. B. glasbildende Flüssigkeiten und amorphe Polymere) benutzt.^[2][3]