Johnson-Körper

Die Johnson-Körper sind eine Klasse geometrischer Körper.

Eigenschaften

Johnson-Körper sind streng konvexe Polyeder, die ausschließlich aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut sind, aber weder platonische Körper, archimedische Körper, Prismen noch Antiprismen sind. Gemeinsam mit den catalanischen Körpern ist, dass die Ecken eines Johnson-Körpers nicht identisch sind. Eine Besonderheit unter den Johnson-Körpern ist das Pseudo-Rhombenkuboktaeder (J₃₇), dessen Ecken zwar lokal uniform sind, aber nicht global.

1966 veröffentlichte Norman Johnson eine Liste von 92 derartigen Polyedern; seine Annahme, dass sie vollständig ist,^[1] wurde 1969 von Wictor Salgaller bewiesen.^[2]

Liste

Johnson-Körper werden oft mit J_n bezeichnet, wobei n die Nummer des Körpers in der folgenden Liste ist. Beispielsweise ist die Dreieckskuppel J₃.

In der folgenden Liste ist E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten, F_n die Anzahl der n-eckigen Flächen und F = F₃ + F₄ + F₅ + … die Anzahl aller Flächen des jeweiligen Körpers.

Pyramiden, Kuppeln und Rotunden

Jn	Körper	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
01	Quadratpyramide			Pyramide	5	8	5	4	1	0	0	0	0	C4v
02	Fünfeckpyramide				6	10	6	5	0	1	0	0	0	C5v
03	Dreieckskuppel			Kuppel	9	15	8	4	3	0	1	0	0	C3v
04	Quadratkuppel				12	20	10	4	5	0	0	1	0	C4v
05	Fünfeckskuppel				15	25	12	5	5	1	0	0	1	C5v
06	Fünfecksrotunde, ein in der Mitte geteiltes Ikosidodekaeder			Rotunde	20	35	17	10	0	6	0	0	1	C5v

Modifizierte Pyramiden

Jn	Name	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F3	F4	F5	Symmetrie
07	verlängerte Dreieckpyramide			verlängerte Pyramide	7	12	7	4	3	0	C3v
08	verlängerte Quadratpyramide (gleichzeitig erweitertes Hexaeder bzw. Quadratprisma)				9	16	9	4	5	0	C4v
09	verlängerte Fünfeckpyramide				11	20	11	5	5	1	C5v
10	verdreht verlängerte Quadratpyramide			verdreht verlängerte Pyramide	9	20	13	12	1	0	C4v
11	verdreht verlängerte Fünfeckpyramide (beschnittenes Ikosaeder)				11	25	16	15	0	1	C5v
12	Dreiecksbipyramide			Bipyramide	5	9	6	6	0	0	D3h
13	Fünfecksbipyramide				7	15	10	10	0	0	D5h
14	verlängerte Dreiecksbipyramide			verlängerte Bipyramide	8	15	9	6	3	0	D3h
15	verlängerte Quadratbipyramide (gleichzeitig zweifach erweitertes Hexaeder bzw. Quadratprisma)				10	20	12	8	4	0	D4h
16	verlängerte Fünfecksbipyramide				12	25	15	10	5	0	D5h
17	verdreht verlängerte Quadratbipyramide			verdreht verlängerte Bipyramide	10	24	16	16	0	0	D4d

Modifizierte Kuppeln und Rotunden

Jn	Körper	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
18	verlängerte Dreieckskuppel			verlängerte Kuppel	15	27	14	4	9	0	1	0	0	C3v
19	verlängerte Quadratkuppel (Beschnittenes kleines Rhombenkuboktaeder)				20	36	18	4	13	0	0	1	0	C4v
20	verlängerte Fünfeckskuppel				25	45	22	5	15	1	0	0	1	C5v
21	verlängerte Fünfecksrotunde			verlängerte Rotunde	30	55	27	10	10	6	0	0	1	C5v
22	verdreht verlängerte Dreieckskuppel			verdreht verlängerte Kuppel	15	33	20	16	3	0	1	0	0	C3v
23	verdreht verlängerte Quadratkuppel				20	44	26	20	5	0	0	1	0	C4v
24	verdreht verlängerte Fünfeckskuppel				25	55	32	25	5	1	0	0	1	C5v
25	verdreht verlängerte Fünfecksrotunde			verdreht verlängerte Rotunde	30	65	37	30	0	6	0	0	1	C5v
26	verdrehter Doppelkeil			Doppelkuppel	8	14	8	4	4	0	0	0	0	D2d
27	Dreiecksdoppelkuppel (verdrehtes Kuboktaeder, Disheptaeder)				12	24	14	8	6	0	0	0	0	D3h
28	Quadratdoppelkuppel				16	32	18	8	10	0	0	0	0	D4h
29	verdrehte Quadratdoppelkuppel				16	32	18	8	10	0	0	0	0	D4d
30	Fünfecksdoppelkuppel				20	40	22	10	10	2	0	0	0	D5h
31	verdrehte Fünfecksdoppelkuppel				20	40	22	10	10	2	0	0	0	D5d
32	Fünfeckskuppelrotunde			Kuppelrotunde	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C5v
33	verdrehte Fünfeckskuppelrotunde				25	50	27	15	5	7	0	0	0	C5v
34	Fünfecksdoppelrotunde (verdrehtes Ikosidodekaeder)			Doppelrotunde	30	60	32	20	0	12	0	0	0	D5h
35	verlängerte Dreiecksdoppelkuppel			verlängerte Doppelkuppel	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D3h
36	verlängerte verdrehte Dreiecksdoppelkuppel				18	36	20	8	12	0	0	0	0	D3d
37	verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel (verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)				24	48	26	8	18	0	0	0	0	D4d
38	verlängerte Fünfecksdoppelkuppel				30	60	32	10	20	2	0	0	0	D5h
39	verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelkuppel				30	60	32	10	20	2	0	0	0	D5d
40	verlängerte Fünfeckskuppelrotunde			verlängerte Kuppelrotunde	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C5v
41	verlängerte verdrehte Fünfeckskuppelrotunde				35	70	37	15	15	7	0	0	0	C5v
42	verlängerte Fünfecksdoppelrotunde			verlängerte Doppelrotunde	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D5h
43	verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelrotunde				40	80	42	20	10	12	0	0	0	D5d
44	verdreht verlängerte Dreiecksdoppelkuppel			verdreht verlängerte Doppelkuppel	18	42	26	20	6	0	0	0	0	D3
45	verdreht verlängerte Quadratdoppelkuppel				24	56	34	24	10	0	0	0	0	D4
46	verdreht verlängerte Fünfecksdoppelkuppel				30	70	42	30	10	2	0	0	0	D5
47	verdreht verlängerte Fünfeckskuppelrotunde			verdreht verlängerte Kuppelrotunde	35	80	47	35	5	7	0	0	0	C5
48	verdreht verlängerte Fünfecksdoppelrotunde			verdreht verlängerte Doppelrotunde	40	90	52	40	0	12	0	0	0	D5

Erweiterte Prismen

Jn	Körper	Abbildung	Netz	E	K	F	F3	F4	F5	F6	Symmetrie
49	erweitertes Dreiecksprisma			7	13	8	6	2	0	0	C2v
50	doppelt erweitertes Dreiecksprisma			8	17	11	10	1	0	0	C2v
51	dreifach erweitertes Dreiecksprisma			9	21	14	14	0	0	0	D3h
52	erweitertes Fünfecksprisma			11	19	10	4	4	2	0	C2v
53	doppelt erweitertes Fünfecksprisma			12	23	13	8	3	2	0	C2v
54	erweitertes Sechsecksprisma			13	22	11	4	5	0	2	C2v
55	doppelt erweitertes Sechsecksprisma (para)			14	26	14	8	4	0	2	D2h
56	doppelt erweitertes Sechsecksprisma (meta)			14	26	14	8	4	0	2	C2v
57	dreifach erweitertes Sechsecksprisma			15	30	17	12	3	0	2	D3h

Modifizierte platonische Körper

Jn	Körper	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F3	F4	F5	Symmetrie
58	erweitertes Dodekaeder			erweitertes Dodekaeder	21	35	16	5	0	11	C5v
59	doppelt erweitertes Dodekaeder (para)				22	40	20	10	0	10	D5d
60	doppelt erweitertes Dodekaeder (meta)				22	40	20	10	0	10	C2v
61	dreifach erweitertes Dodekaeder				23	45	24	15	0	9	C3v
62	doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta)			beschnittenes Ikosaeder	10	20	12	10	0	2	C2v
63	dreifach beschnittenes Ikosaeder				9	15	8	5	0	3	C3v
64	erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder			-	10	18	10	7	0	3	C3v

Modifizierte archimedische Körper

Jn	Körper	Abbildung	Netz	Typ	E	K	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symmetrie
65	erweitertes abgestumpftes Tetraeder			erweitertes abgestumpftes Tetraeder	15	27	14	8	3	0	3	0	0	C3v
66	erweitertes abgestumpftes Hexaeder			erweitertes abgestumpftes Hexaeder	28	48	22	12	5	0	0	5	0	C4v
67	doppelt erweitertes abgestumpftes Hexaeder				32	60	30	16	10	0	0	4	0	D4h
68	erweitertes abgestumpftes Dodekaeder			erweitertes abgestumpftes Dodekaeder	65	105	42	25	5	1	0	0	11	C5v
69	doppelt erweitertes abgestumpftes Dodekaeder (para)				70	120	52	30	10	2	0	0	10	D5d
70	doppelt erweitertes abgestumpftes Dodekaeder (meta)				70	120	52	30	10	2	0	0	10	C2v
71	dreifach erweitertes abgestumpftes Dodekaeder				75	135	62	35	15	3	0	0	9	C3v
72	verdrehtes Rhombenikosidodekaeder			verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder	60	120	62	20	30	12	0	0	0	C5v
73	doppelt verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)				60	120	62	20	30	12	0	0	0	D5d
74	doppelt verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)				60	120	62	20	30	12	0	0	0	C2v
75	dreifach verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder				60	120	62	20	30	12	0	0	0	C3v
76	beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder			beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C5v
77	verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)			verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	55	105	52	15	25	11	0	0	1	C5v
78	verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)				55	105	52	15	25	11	0	0	1	Cs
79	doppelt verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder				55	105	52	15	25	11	0	0	1	Cs
80	doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)			beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	50	90	42	10	20	10	0	0	2	D5d
81	doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)				50	90	42	10	20	10	0	0	2	C2v
82	verdrehtes doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder			verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	50	90	42	10	20	10	0	0	2	C2v
83	dreifach beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder			beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder	45	75	32	5	15	9	0	0	3	C3v

Übrige

Jn	Körper	Abbildung	Netz	E	K	F	F3	F4	F5	F6	Symmetrie
84	Trigondodekaeder			8	18	12	12	0	0	0	D2d
85	abgeschrägtes Quadratantiprisma			16	40	26	24	2	0	0	D4d
86	Sphenocorona			10	22	14	12	2	0	0	C2v
87	erweiterte Sphenocorona			11	26	17	16	1	0	0	Cs
88	Sphenomegacorona			12	28	18	16	2	0	0	C2v
89	Hebesphenomegacorona			14	33	21	18	3	0	0	C2v
90	Disphenocingulum			16	38	24	20	4	0	0	D2d
91	Bilunadoppelrotunde			14	26	14	8	2	4	0	D2h
92	Dreieckshebesphenorotunde			18	36	20	13	3	3	1	C3v

Weblinks

Commons: Johnson solids – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Johnson Solid. In: MathWorld (englisch).
• Johnson Solid (mit diversen Grafiken, englisch, archiviert)