Gitterförmige Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen reellwertiger diskreter Zufallsvariablen, bei denen die Stellen, die mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden, eine spezielle Struktur haben, die an ein Gitter erinnert.
Eine reellwertige diskrete Zufallsvariable , für die es eine Menge
mit und gibt, so dass
gilt, heißt gitterförmig verteilt. Für eine gitterförmig verteilte Zufallsvariable gibt es ein größtes , das Gitterkonstante heißt.[1]
In den folgenden drei Fällen ist gitterförmig verteilt mit und Gitterkonstante .
- sei eine Bernoulli-Variable mit dem Parameter . Für gilt und für alle .
- sei eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern und . Für gilt und für alle .
- sei eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Parameter . Für gilt und für alle .
Für die Zufallsvariable mit ist und die Gitterkonstante ist .
- Eine reellwertige Zufallsvariable ist genau dann gitterförmig verteilt, wenn der Betrag ihrer charakteristischen Funktion an einer Stelle den Wert Eins hat.[2][3]
- Eine gitterförmige Verteilung hat genau dann die Gitterkonstante , wenn
- und
- gilt.[4]
Gitterförmige Verteilungen spielen eine besondere Rolle in der Theorie lokaler Grenzwertsätze.[2]
Es sei eine Folge stochastisch unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit und Gitterkonstante 1, mit dem Erwartungswert und mit der endlichen und positiven Varianz . Dann hat die Zufallsvariable den Erwartungswert und die Varianz . Es gilt dann der lokale Grenzwertsatz von Gnedenko[5]
Dabei bezeichnet die Dichtefunktion einer Normalverteilung . Die Konvergenz gilt gleichmäßig bezüglich .[6]
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Gitterförmige Verteilung (lattice distribution), S. 148–149.
Lexikon der Stochastik. 1991, S. 148.
Lexikon der Stochastik. 1991, S. 149.
Valentin V. Petrov: Limit Theorems of Probability Theory – Sequences of Independent Random Variables (= Oxford Studies in Probability. Band 4). Clarendon Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-853499-X, Theorem 1.3, S. 12. Valentin V. Petrov: Limit Theorems of Probability Theory – Sequences of Independent Random Variables (= Oxford Studies in Probability. Band 4). Clarendon Press, Oxford 1995, ISBN 0-19-853499-X, Lemma 1.2, S. 13. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Lokale Grenzwertsätze (local limit theorems), S. 227–228.