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Die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß) ist neben der mittleren Krümmung der wichtigste Krümmungsbegriff in der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (), einem Gebiet der Differentialgeometrie. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß.
Gegeben seien eine reguläre Fläche im und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen und .
Dabei sind und die beiden Hauptkrümmungsradien.
In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv (), in hyperbolischen Punkten negativ () und in parabolischen Punkten oder Flachpunkten verschwindet sie.
Beispiele:
Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der Formel von Brioschi:
Dabei sind , und die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen , usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern und , mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.
Eine weitere Formel zur Berechnung der gaußschen Krümmung lautet:
Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung () reduziert sich diese Formel auf
Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, d. h., es gilt und , dann schreibt sich
mit dem Laplaceoperator
der gaußschen Krümmung über eine Teilmenge einer Fläche bezeichnet man als deren Totalkrümmung. Bei Vielecken, deren Kanten Geodätische sind, besteht ein Zusammenhang zwischen der Totalkrümmung und der Innenwinkelsumme. Beispielsweise gilt für die Innenwinkelsumme eines geodätischen Dreiecks:
Die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks entspricht also der Abweichung der Innenwinkelsumme von : Die Innenwinkelsumme eines sich auf einer positiv gekrümmten Fläche befindenden Dreiecks überschreitet , auf einer negativ gekrümmten Fläche liegt die Innenwinkelsumme unterhalb von . Beträgt die Gaußkrümmung null, so beträgt die Innenwinkelsumme wie im ebenen Fall exakt .
Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes ist der Satz von Gauß-Bonnet, der einen Zusammenhang zwischen der gaußschen Krümmung einer Fläche und der geodätischen Krümmung der zugehörigen Randkurve beschreibt.
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