Frullanische Integrale

Als frullanische Integrale werden uneigentliche Integrale vom Typ

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x}$

bezeichnet. Sie wurden erstmals 1821 von Giuliano Frullani in einem Brief erwähnt und 1828 veröffentlicht. Es gilt der folgende Satz:

Sei ${\displaystyle f(x)}$ eine für ${\displaystyle x\geq 0}$ stetige Funktion mit ${\displaystyle A:=f(0)}$ und dem endlichen Grenzwert ${\displaystyle B:=\lim _{x\to \infty }f(x)}$, dann gilt

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x=(A-B)\ln {\frac {b}{a}}}$.

Wichtige Beispiele ergeben sich für ${\displaystyle f(x)=e^{-x}\ }$ bzw. ${\displaystyle f(x)=\arctan x\ }$ mit ${\displaystyle a,b>0}$:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\,{\rm {d}}x=\ln {\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(ax)-\arctan(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\frac {\pi }{2}}\ln {\frac {a}{b}}}$

Literatur

• G. Frullani, Sopra Gli Integrali Definiti, Memorie della Società Italiana delle Scienze, Modena, XX (1828), pp. 448–467.
• T. J. Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Macmillan, 1908, 432–433.
• A. M. Ostrowski: On Some Generalizations of the Cauchy-Frullani Integral. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 35, Nummer 10, Oktober 1949, S. 612–616, PMID 16588938, PMC 1063092 (freier Volltext).
• Francesco G. Tricomi: On the theorem of Frullani. American Mathematical Monthly, 58, 1951, Seiten 158–164.
• A. M. Ostrowski: On Cauchy-Frullani Integrals, Commentarii Mathematici Helvetici 51 (1976), 57–91. doi:10.1007/BF02568143 (Coll. Math. Papers 349–383)
• Juan Arias-de-Reyna, On the Theorem of Frullani (PDF; 884 kB), Proc. A.M.S. 109 (1990), 165–175.
• Matthew Albano, Tewodros Amdeberhan, Erin Beyerstedt, and Victor H. Moll, The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 15: Frullani integrals (Memento vom 20. April 2016 im Internet Archive) (PDF; 106 kB), 2010, 7 Seiten.