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Mathematik Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Ford-Kreise sind Kreise in der reellen Ebene, je einer für jede rationale Zahl und einer zum Punkt unendlich. Die Kreise sind nach dem amerikanischen Mathematiker Lester R. Ford benannt, der sie 1938 entdeckte.
Der Fordkreis zum Bruch mit teilerfremden, ganzen Zahlen und wird meist mit oder bezeichnet. Er hat für den Radius und sein Zentrum liegt im Punkt . Außerdem ist der Fordkreis definiert als die Gerade (projektiv gesehen ist dies ein Kreis mit Zentrum im Unendlichen).
Das Innere je zweier verschiedener Fordkreise ist disjunkt, d. h. die Kreise überlappen sich nicht. Allerdings können sie sich berühren. Außerdem wird jeder rationale Punkt der x-Achse von einem Fordkreis berührt.
Liegt der Bruch im offenen Intervall , so entsprechen die berührenden Fordkreise gerade den Nachbarn von in einer Farey-Reihe.
Eine Verallgemeinerung ergibt sich mit Gaußsche Zahlen p=p'+ip'' und q=q'+iq''. Die Division von zwei komplexen Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten ergibt rationale Koeffizienten: Mit ganzen Zahlen |q|²=q'*q'+q''*q'', n'=p'*q'+p''*q'' und n''= p''q'-p'q'' lässt sich der Quotient schreiben als p/q=(n'+in'')/|q|². Erstellt man für alle ganzen Zahlen p','p'',q',q'' mit teilerfremden p,q Kugeln mit Radius r= am Punkt ((p/q)',(p/q)'',r) entstehen Ford-Kugeln.
Zwei Kugeln und tangieren sich genau dann wenn .[1]
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