Gδ- und Fσ-Mengen

Als G_δ-Mengen und F_σ-Mengen bezeichnet man in der Mathematik spezielle Mengen in topologischen Räumen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Maßtheorie und treten auch bei der Formulierung von Permanenzeigenschaften gewisser Klassen von topologischen Räumen auf.

Definition

Gegeben sei ein topologischer Raum ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$.

Eine Menge ${\displaystyle G\subset X}$ heißt eine G_δ-Menge, wenn sie der abzählbare Durchschnitt von offenen Mengen in ${\displaystyle X}$ ist. Das heißt, es existieren Mengen ${\displaystyle O_{n}\in {\mathcal {O}}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so dass

${\displaystyle G=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }O_{n}}$

gilt.

Eine Menge ${\displaystyle F\subset X}$ heißt eine F_σ-Menge, wenn sie die abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen in ${\displaystyle X}$ ist. Äquivalent dazu ist, dass das Komplement der Menge eine G_δ-Menge ist.

Benennung

Die Benennung erklärt sich wie folgt:

• F steht für fermé, französisch für abgeschlossen, das σ für somme, französisch für Summe und daraus abgeleitet die Vereinigung, ähnlich der σ-Additivität oder der σ-Endlichkeit.^[1]
• G steht für Gebiet, da Felix Hausdorff offene Mengen Gebiete nannte,^[2] das δ für Durchschnitt.^[3]

Verwendung

Namensgebend sind die G_δ-Mengen beispielsweise bei dem G_δ-Satz von Hausdorff, ebenso spielen sie eine zentrale Rolle bei dem eng verwandten Satz von Mazurkiewicz.

Außerdem sind sowohl G_δ-Mengen als auch F_σ-Mengen stets Borel-Mengen und befinden sich in der zweiten Stufe der Borel-Hierarchie.

Siehe auch

• G_δ-Raum, in dem jede abgeschlossene Teilmenge eine G_δ-Menge oder äquivalent jede offene Teilmenge eine F_σ-Menge ist.

Weblinks

• G-delta. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
• F-sigma. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, doi:10.1007/978-3-642-56860-2.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: F-Sigma Set. In: MathWorld (englisch).
2. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 26.
3. Eric W. Weisstein: G-Delta Set. In: MathWorld (englisch).