Dynkin-System

Ein Dynkin-System (manchmal auch λ-System genannt) ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin. Sie sind in Kombination mit dem Dynkinschen π-λ-Satz ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung von Eindeutigkeitsaussagen in der Maßtheorie und Stochastik (siehe Maßeindeutigkeitssatz).

Definition

Eine Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ einer Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ heißt Dynkin-System über ${\displaystyle \Omega }$, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:^[1]

• Das System enthält die Grundmenge:

${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {D}}}$.

• Das System ist abgeschlossen unter Bildung von Komplementen:

${\displaystyle A\in {\mathcal {D}}\implies A^{c}\in {\mathcal {D}}}$.

• Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen:

${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {D}}}$ disjunkt ${\displaystyle \implies \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {D}}}$

δ-Operator

Beliebige Durchschnitte von Dynkin-Systemen über ${\displaystyle \Omega }$ ergeben wieder ein Dynkin-System. Ist daher ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ ein Mengensystem, dann wird durch

${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}}):=\bigcap _{{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {S}} \atop {\mathcal {S}}{\text{ Dynkin-System}}}{\mathcal {S}}.}$

ein Dynkin-System ${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}})}$ definiert, genannt das von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ erzeugte Dynkin-System. Es ist das kleinste Dynkin-System, welches ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ enthält. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ heißt Erzeuger von ${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}})}$.

Der δ-Operator ist ein Hüllenoperator. Teilweise wird er entsprechend der Namensgebung als ${\displaystyle \lambda }$-System auch als ${\displaystyle \lambda }$-Operator ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$ notiert. Weitere alternative Bezeichnungen sind ${\displaystyle d({\mathcal {E}})}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {D}}({\mathcal {E}})}$.

Das Dynkin-System-Argument

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei ${\displaystyle \alpha }$ eine Aussage, die für Mengen ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei ${\displaystyle \Sigma }$ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, für dessen Elemente man ${\displaystyle \alpha }$ zeigen kann. Nach dem Prinzip der guten Mengen betrachtet man nun das Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\{A\in \Sigma \colon A{\mbox{ erfüllt }}\alpha \}}$ und zeigt, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ einerseits ${\displaystyle \delta ({\mathcal {E}})=\sigma ({\mathcal {E}})}$, andererseits gilt aber auch ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\subseteq \Sigma }$ und damit wegen ${\displaystyle \Sigma =\sigma ({\mathcal {E}})=\delta ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {D}}}$ schon ${\displaystyle \Sigma ={\mathcal {D}}}$.

Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.

Zusammenhang mit weiteren Mengensystemen

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren

Jede σ-Algebra ist immer auch ein Dynkin-System. Umgekehrt ist jedes durchschnittsstabile Dynkinsystem auch eine σ-Algebra. Ein Beispiel^[2] für ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist, ist

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\emptyset ,\{1,2\},\{3,4\},\{1,4\},\{2,3\},\{1,2,3,4\}\}}$

auf der Grundmenge ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}$. Das Mengensystem ist ein Dynkin-System, aber keine Algebra (da nicht schnittstabil) und damit auch keine σ-Algebra.

Es gilt außerdem der dynkinsche π-λ-Satz: Ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so stimmen die von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ erzeugte σ-Algebra und das von ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ erzeugte Dynkin-System überein.

Monotone Klassen

Dynkin-Systeme lassen sich auch über monotone Klassen definieren: Ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ist genau dann ein Dynkin-System, wenn ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine monotone Klasse ist, welche die Obermenge ${\displaystyle \Omega }$ enthält und in der für beliebige Mengen ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ mit ${\displaystyle B\subset A}$ auch ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {D}}}$ gilt.

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20–21, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1992, ISBN 3-11-013626-0.

Einzelnachweise

1. Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, ISBN 3-11-013626-0, S. 7, Def. 2.1.
2. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.