Dirac–Kähler-Gleichung

Die Dirac–Kähler-Gleichung (auch Ivanenko–Landau–Kähler-Gleichung) ist eine geometrische Formulierung der Dirac-Gleichung auf pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten mithilfe des Laplace–de Rham-Operators. Die Gleichung wurde von Dmitri Ivanenko und Lew Landau im Jahr 1928 entdeckt,^[1] Erich Kähler entdeckte sie erneut im Jahr 1962.^[2]

Konstruktion

Sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit. Das Differential ${\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)}$ erhöht den Grad einer Differentialform und das adjungierte Differential ${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$ verringert den Grad einer Differentialform. Der Laplace–de-Rham-Operator:

${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)}$

erhält daher den Grad einer Differentialform. Mit den Komplexitätsbedingungen ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=\delta ^{2}=0}$ ergeben sich die Zusammenhänge ${\displaystyle (\mathrm {d} \pm \delta )^{2}=\pm \Delta }$, wodurch Dirac-Operatoren ähnlich wie bei der Konstruktion der Dirac-Gleichung existieren, sodass deren Quadrat der Laplace–de-Rham-Operator ist. Diese können jedoch nicht mehr auf den Vektorräumen von Differentialformen eines einzigen Grades definiert werden kann, daher ist der Übergang auf die direkte Summe:

${\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{k=0}^{n}\Omega ^{k}(M)}$

notwendig. Einer dieser Dirac-Operatoren ist der Dirac–Kähler-Operator:

${\displaystyle \mathrm {d} -\delta \colon \Omega (M)\rightarrow \Omega (M).}$

Für ein Skalar ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ und eine Differentialform ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$ ist die Dirac–Kähler-Gleichung gegeben durch:^[3]

${\displaystyle (\mathrm {d} -\delta +m)\omega =0.}$

Diese besteht aus ${\displaystyle n+3}$ miteinander gekoppelten Differentialgleichungen für ${\displaystyle n+1}$ Differentialformen. Für ${\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{k=0}^{n}\omega _{k}}$ mit ${\displaystyle \omega _{k}\in \Omega ^{k}(M)}$sind diese gegeben durch:

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{k-1}-\delta \omega _{k+1}+m\omega _{k}=0}$

für ${\displaystyle k=-1,0,\ldots ,n,n+1}$. Für die Randfälle ${\displaystyle k=-1}$ und ${\displaystyle k=n+1}$ ergeben sich dabei jeweils ${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{n}=0}$ und ${\displaystyle \delta \omega _{0}=0}$, was sowieso aus Gradgründen gelten muss, da es keine ${\displaystyle -1}$- und ${\displaystyle n+1}$-Formen auf ${\displaystyle M}$ gibt. Dadurch gibt es tatsächlich nur ${\displaystyle n+1}$ miteinander gekoppelte Differentialgleichungen für ${\displaystyle n+1}$ Differentialformen. Für ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle k=n}$ ergibt sich:

${\displaystyle -\delta \omega _{1}+m\omega _{0}=0}$

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{n-1}+m\omega _{n}=0.}$

Durch Anwendung von ${\displaystyle \mathrm {d} -\delta -m}$ auf die Dirac–Kähler-Gleichung wird diese zur Klein–Gordon-Gleichung ${\displaystyle (\Delta +m^{2})\omega =0}$, bei welcher die einzelnen Differentialgleichungen entkoppeln und daher jede einzelne Differentialform ${\displaystyle \omega _{k}}$ mit ${\displaystyle (\Delta ^{2}+m^{2})\omega _{k}=0}$die Klein–Gordon-Gleichung erfüllt. Würde für die Dirac–Kähler-Gleichung stattdessen der Operator ${\displaystyle \mathrm {d} +\delta }$ verwendet werden, würden diese stattdessen ${\displaystyle (\Delta -m^{2})\omega =0}$ erfüllen.

Weblinks

• Kähler–Dirac-Operator auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

1. D. Iwanenko, L. Landau: Zur Theorie des magnetischen Elektrons. I (English translation: On the theory of the magnetic electron). In: Zeitschrift für Physik. 48. Jahrgang, Nr. 5, 1928, S. 340–348, doi:10.1007/BF01339119 (englisch).
2. E. Kähler: Der innere Differentialkalkül. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 25. Jahrgang, Nr. 3, 1962, S. 192–205, doi:10.1007/BF02992927.
3. S.I.Kruglov: Dirac-Kähler Equation. 27. Oktober 2001, abgerufen am 8. März 2024 (englisch).