Cannon-Thurston-Abbildung

Cannon-Thurston-Abbildungen werden in der Mathematik in der Theorie Kleinscher Gruppen verwendet. Sie erlauben es, komplizierte Limesmengen als stetige Bilder eines Kreises darzustellen.

Limesmenge einer quasifuchsschen Gruppe

Cannon-Thurston-Vermutung

Der folgende Satz wurde von Cannon und Thurston vermutet und in dieser Allgemeinheit von Mahan Mj bewiesen.

Eine Flächengruppe ${\displaystyle \pi _{1}S}$ wirke frei und eigentlich diskontinuierlich ohne parabolische Elemente auf dem 3-dimensionalen hyperbolischen Raum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$. Dann lässt sich die äquivariante Inklusion

${\displaystyle i\colon {\widetilde {S}}\to \mathbb {H} ^{3}}$

der universellen Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {S}}=\mathbb {H} ^{2}}$ stetig auf den idealen Rand ${\displaystyle \partial _{\infty }{\widetilde {S}}=\partial _{\infty }\mathbb {H} ^{2}}$ zu einer stetigen Abbildung

${\displaystyle i\cup \partial _{\infty }i\colon \mathbb {H} ^{2}\cup \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{2}\to \mathbb {H} ^{3}\cup \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{3}}$

fortsetzen.

Für ${\displaystyle p\not =q\in \partial _{\infty }\mathbb {H} ^{2}}$ ist ${\displaystyle \partial _{\infty }i(p)=\partial _{\infty }i(q)}$ dann und nur dann, wenn ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ Endpunkte im Unendlichen desselben Blattes oder desselben idealen Komplementärpolygons der Endelaminierung von ${\displaystyle \pi _{1}S\backslash \mathbb {H} ^{3}}$ sind.

Anwendungen

• Wenn die Limesmenge einer endlich erzeugten Kleinschen Gruppe zusammenhängend ist, dann ist sie lokal zusammenhängend.

• Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine geometrisch endliche Kleinsche Gruppe. Wenn es für eine andere Kleinsche Gruppe ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }}$ einen Gruppenisomorphismus ${\displaystyle \Gamma \to \Gamma ^{\prime }}$ gibt, der parabolische Elemente auf parabolische Elemente abbildet, dann gibt es eine surjektive, stetige Abbildung der Limesmenge von ${\displaystyle \Gamma }$ auf die Limesmenge von ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }}$, der die Fixpunkte jedes Elements ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ auf die Fixpunkte des entsprechenden Elements in ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }}$ abbildet.

• Sei ${\displaystyle M}$ eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens, die über dem Kreis mit Faser ${\displaystyle S}$ fasert. Dann ist die Limesmenge von ${\displaystyle \pi _{1}S}$ eine ${\displaystyle \pi _{1}M}$-invariante Peano-Kurve.

Verallgemeinerungen

Eine hyperbolische Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ wirke frei und eigentlich diskontinuierlich auf einem Gromov-hyperbolischen Raum ${\displaystyle X}$. Man kann fragen, ob sich die Orbitabbildungen

${\displaystyle i\colon \Gamma \to X}$

auf den Gromov-Rand zu einer stetigen Abbildung

${\displaystyle i\cup \partial _{\infty }i\colon \Gamma \cup \partial _{\infty }\Gamma \to X\cup \partial _{\infty }X}$

fortsetzen lassen. Falls eine solche stetige Fortsetzung existiert, bezeichnet man

${\displaystyle \partial _{\infty }i\colon \partial _{\infty }\Gamma \to \partial _{\infty }X}$

als Cannon-Thurston-Abbildung.

Es gibt zahlreiche Beispiele, in denen eine Cannon-Thurston-Abbildung nicht existiert, siehe Baker-Riley und Matsuda-Oguni.

Eine Cannon-Thurston-Abbildung existiert jedoch für

• die Inklusion ${\displaystyle i\colon \Gamma \to G}$ eines Normalteilers in eine hyperbolische Gruppe,

oder für

• die Inklusion eines Eckenraumes in einen Baum Gromov-hyperbolischer Räume, in dem alle Inklusionen von Kantenräumen in Eckenräume quasi-isometrische Einbettungen sind.

Literatur

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• M. Mj. Cannon-Thurston Maps for Surface Groups. Ann. of Math. 179(1), S. 1–80, 2014.
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• M. Mj. Cannon-Thurston Maps for Kleinian Groups. Forum Math. Pi 5, e1, 49 pp., 2017.
• M. Mj. Cannon-Thurston maps, Proceedings of International Congress of Mathematicians 2018.