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Als beschränktes Wachstum (begrenztes Wachstum) wird in der Mathematik ein Wachstum bezeichnet, das durch eine natürliche Schranke (auch Kapazität(-sgrenze) oder Sättigung(-sgrenze/-swert) genannt) begrenzt ist. Das Wachstum kann sowohl nach oben als auch nach unten (beschränkte Schrumpfung) beschränkt sein.
Beim klassischen Wachstumsmodell des beschränkten Wachstums ist die Änderungsrate bzw. proportional zum Sättigungsmanko (auch Restbestand bzw. Sättigungsdefizit genannt). Das Sättigungsmanko selbst nimmt exponentiell ab. Dieser Rest gibt den Fehlbetrag bis zum Erreichen der Schranke an. Der Bestand ergibt sich wiederum aus der Differenz von Sättigungsgrenze und Sättigungsmanko.
Differentialgleichungen (DGL) dienen der Beschreibung des kontinuierlichen (stetigen) Wachstumsmodells.
Die DGL für beschränktes Wachstum lautet:
Dies ist eine lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und kann mittels der Methode „Variablentrennung“ gelöst werden.
Die spezielle Lösung der DGL bildet die explizite Darstellung und damit gleichzeitig die Wachstumsfunktion.
Für ein beschränktes Wachstum lautet die Funktionsgleichung: Das Wachstum ist degressiv. Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt mit der Zeit ab.
Für ein nach oben beschränktes Wachstum mit steigt der Graph der Funktion streng monoton und beschreibt eine Rechtskurve.
Für ein nach unten beschränktes Wachstum mit fällt der Graph der Funktion streng monoton und beschreibt eine Linkskurve.
Für den Sonderfall hat die Wachstumsfunktion die Gestalt: .
Hier fällt die Schranke mit der x-Achse (Abszisse) zusammen. Dies entspricht dem klassischen Fall einer exponentiellen Abnahme.
Zur Beschreibung des diskreten Modells als rekursive Darstellung dienen aus Differenzen abgeleitete Folgen.
Es sei .
Dann lautet die Rekursionsformel: ,
wobei eine äquidistante Folge von Zeitpunkten darstellt und die entsprechenden Bestandsgrößen meint.
Folgende Näherung ergibt sich durch Anwendung des expliziten Eulerverfahrens:
mit
Der Koeffizientenvergleich der exakten und der Näherungsformeln zeigt, dass beide Darstellungen nicht identisch sind. Durch Reihenentwicklung der Exponentialfunktion:
ergibt sich jedoch, dass beide Darstellungen bis auf Terme höherer als 1. Ordnung übereinstimmen.
Neben dem klassischen Modell ist ein Wachstum, welches sich durch eine logistische Funktion beschreiben lässt, ebenfalls nach oben hin beschränkt. Hier ist die Änderungsrate proportional zum Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko .
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