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Interpretation von Wahrscheinlichkeit als Grad persönlicher Überzeugung Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes ( ) benannte bayessche Wahrscheinlichkeitsbegriff (engl. Bayesianism) interpretiert Wahrscheinlichkeit als Grad persönlicher Überzeugung (englisch degree of belief). Er unterscheidet sich damit von den objektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassungen wie dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit interpretiert.
Der bayessche Wahrscheinlichkeitsbegriff darf nicht mit dem gleichfalls auf Thomas Bayes zurückgehenden Satz von Bayes verwechselt werden, welcher in der Statistik reiche Anwendung findet.
Der bayessche Wahrscheinlichkeitsbegriff wird häufig verwendet, um die Plausibilität einer Aussage im Lichte neuer Erkenntnisse neu zu bemessen. Pierre-Simon Laplace (1812) entdeckte diesen Satz später unabhängig von Bayes und verwendete ihn, um Probleme in der Himmelsmechanik, in der medizinischen Statistik und, einigen Berichten zufolge, sogar in der Rechtsprechung zu lösen.
Zum Beispiel schätzte Laplace die Masse des Saturns auf Basis vorhandener astronomischer Beobachtungen seiner Umlaufbahn. Er erläuterte die Ergebnisse zusammen mit einem Hinweis seiner Unsicherheit: „Ich wette 11.000 zu 1, dass der Fehler in diesem Ergebnis nicht größer ist als 1/100 seines Wertes.“ (Laplace hätte die Wette gewonnen, denn 150 Jahre später musste sein Ergebnis auf Grundlage neuer Daten um lediglich 0,37 % korrigiert werden.)
Die bayessche Interpretation von Wahrscheinlichkeit wurde zunächst Anfang des 20. Jahrhunderts vor allem in England ausgearbeitet. Führende Köpfe waren etwa Harold Jeffreys (1891–1989) und Frank Plumpton Ramsey (1903–1930). Letzterer entwickelte einen Ansatz, den er aufgrund seines frühen Todes nicht weiter verfolgen konnte, der aber unabhängig davon von Bruno de Finetti (1906–1985) in Italien aufgenommen wurde. Grundgedanke ist, „vernünftige Einschätzungen“ (engl. rational belief) als eine Verallgemeinerung von Wettstrategien aufzufassen: Gegeben sei eine Menge von Information/Messungen/Datenpunkten, und gesucht wird eine Antwort auf die Frage, wie hoch man auf die Korrektheit seiner Einschätzung wetten oder welche Odds man geben würde. (Der Hintergrund ist, dass man gerade dann viel Geld wettet, wenn man sich seiner Einschätzung sicher ist. Diese Idee hatte großen Einfluss auf die Spieltheorie). Eine Reihe von Streitschriften gegen (frequentistische) statistische Methoden ging von diesem Grundgedanken aus, über den seit den 1950ern zwischen Bayesianern und Frequentisten debattiert wird.
Ist man bereit, Wahrscheinlichkeit als „Sicherheit in der persönlichen Einschätzung eines Sachverhaltes“ zu interpretieren (s. o.), so stellt sich die Frage, welche logischen Eigenschaften diese Wahrscheinlichkeit haben muss, um nicht widersprüchlich zu sein. Wesentliche Beiträge wurden hierzu von Richard Threlkeld Cox (1946) geleistet. Er fordert die Gültigkeit der folgenden Prinzipien:
Es stellt sich heraus, dass die folgenden Regeln für Wahrscheinlichkeitswerte W(H) gelten müssen:
Hier bedeutet:
Aus den obigen Regeln der Wahrscheinlichkeitswerte lassen sich andere ableiten.
Um solche Probleme trotzdem im Rahmen der frequentistischen Interpretation angehen zu können, wird die Unsicherheit dort mittels einer eigens dazu erfundenen variablen Zufallsgröße beschrieben. Die Bayessche Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt solch eine Hilfsgröße nicht. Stattdessen führt sie das Konzept der A-priori-Wahrscheinlichkeit ein, die Vorwissen und Grundannahmen des Beobachters in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammenfasst. Vertreter des Bayes-Ansatzes sehen es als großen Vorteil, Vorwissen und A-priori-Annahmen explizit im Modell auszudrücken.
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