Artin-Gruppe

In der Mathematik ist eine Artin-Gruppe ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Diese besondere Klasse von Gruppe ist nach dem Mathematiker Emil Artin benannt.

Definition

Eine Artin-Gruppe ist eine Gruppe mit einer Präsentierung der Form

${\displaystyle {\Big \langle }x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}{\Big |}\langle x_{1},x_{2}\rangle ^{m_{1,2}}=\langle x_{2},x_{1}\rangle ^{m_{2,1}},\ldots ,\langle x_{n-1},x_{n}\rangle ^{m_{n-1,n}}=\langle x_{n},x_{n-1}\rangle ^{m_{n,n-1}}{\Big \rangle }}$

mit

${\displaystyle m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}}$.

Für ${\displaystyle m<\infty }$ bedeutet dabei ${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m}}$ das alternierende Produkt der Länge ${\displaystyle m}$ von ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{j}}$, beginnend mit ${\displaystyle x_{i}}$. Also beispielsweise

${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{3}=x_{i}x_{j}x_{i}}$

oder

${\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{4}=x_{i}x_{j}x_{i}x_{j}}$.

${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ bedeutet, dass es zwischen ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{j}}$ keine Relationen gibt.

Spezialfälle

Zopf-Gruppen

→ Hauptartikel: Zopfgruppe

Zopf-Gruppen erhält man als Spezialfall mit

${\displaystyle m_{i,i+1}=m_{i+1,i}=3\ \forall i}$

und

${\displaystyle m_{i,j}=2\ \forall \mid i-j\mid >1}$.

Rechtwinklige Artin-Gruppen

Rechtwinklige Artin-Gruppen sind Artin-Gruppen mit

${\displaystyle m_{i,j}\in \left\{2,\infty \right\}}$

für alle ${\displaystyle i,j}$. Sie spielen eine wichtige Rolle in der 3-dimensionalen Topologie.